In der mathematischen Analyse-Ungleichheit von Hölder, genannt nach Otto Hölder, ist eine grundsätzliche Ungleichheit zwischen Integralen und einem unentbehrlichen Werkzeug für die Studie von L Räumen.

Lassen Sie (S, , ) ein Maß-Raum sein und 1  p, q   mit 1/p + 1/q = 1 zu lassen. Dann, für alle messbar echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen f und g auf S,

:Wie man

sagt, sind die Nummern p und q oben Hölder paart sich von einander. Der spezielle Fall p = q = 2 gibt eine Form der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz.

Die Ungleichheit von Hölder hält, ob fg ||, die Rechte unendlich ist, die auch in diesem Fall unendlich ist. Insbesondere wenn f in L (μ) ist und g in L (μ) ist, dann ist fg in L (μ).

Für 1 (μ) und g  L (μ) wird die Ungleichheit von Hölder eine Gleichheit wenn und nur wenn f  und g  sind in L (μ) linear abhängig, bedeutend, dass dort reelle Zahlen α, β  0, nicht sie beide Null, solch dass  f&thinsp bestehen; =  g  μ-almost überall.

Die Ungleichheit von Hölder wird verwendet, um die Ungleichheit von Minkowski zu beweisen, die die Dreieck-Ungleichheit im Raum L (μ) ist, und auch festzustellen, dass L (μ) der Doppelraum von L (μ) für 1  p ist und ||g || (vielleicht unendlich) Ausdrücke eintreten

:: und

• Wenn p = , dann f  tritt für das wesentliche Supremum f&thinsp ein; ähnlich für

g .

• Die Notation f  mit 1  p  ist  ein geringer Missbrauch, weil im Allgemeinen es nur eine Norm von f wenn f&thinsp ist; ist begrenzt, und f wird als Gleichwertigkeitsklasse von μ-almost überall gleiche Funktionen betrachtet. Wenn f  L (μ) und g  L (μ), dann ist die Notation entsprechend.
• Auf der rechten Seite der Ungleichheit von Hölder, 0mal  sowie  Zeiten 0 Mittel 0. Das Multiplizieren a> 0 mit  gibt .

Schätzungen für integrable Produkte

Lassen Sie als oben f, und g zeigen messbar echt - oder Komplex-geschätzte auf S definierte Funktionen an. Wenn ||fg || begrenzt ist, dann sind die Produkte von f mit g und seiner komplizierten verbundenen Funktion beziehungsweise μ-integrable, die Schätzungen

:

und der ähnliche für fg hält, und die Ungleichheit von Hölder kann auf die Rechte angewandt werden. Insbesondere wenn f und g im Raum von Hilbert L (μ) sind, dann bezieht die Ungleichheit von Hölder für p = q = 2 ein

:

wo sich die Winkelklammern auf das Skalarprodukt von L (μ) beziehen. Das wird auch Ungleichheit von Cauchy-Schwarz genannt, aber verlangt für seine Behauptung, dass ||f || und ||g || begrenzt sind, um sicherzustellen, dass das Skalarprodukt von f und g gut definiert wird.

Generalisation für Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen

Wenn (S, , ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, dann muss 1  p, q   gerade 1/p + 1/q  1 befriedigen, anstatt Hölder zu sein, paart sich. Eine Kombination der Ungleichheit von Hölder und der Ungleichheit von Jensen bezieht das ein

:

für alle messbar echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen f und g auf S,

Bemerkenswerte spezielle Fälle

Weil die folgenden Fälle annehmen, dass p und q im offenen Zwischenraum (1, ) mit 1/p + 1/q = 1 sind.

Das Aufzählen des Maßes

Im Fall vom n-dimensional Euklidischen Raum, wenn der Satz S {1, …, n} mit dem Zählen-Maß ist, haben wir

:

\text {für alle} (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in\mathbb {R} ^n\text {oder }\\mathbb {C} ^n. </math>

Wenn S = N mit dem Zählen-Maß, dann bekommen wir die Ungleichheit von Hölder für Folge-Räume:

:

\text {für alle} (x_k) _ {k\in\mathbb N}, (y_k) _ {k\in\mathbb N }\\in\mathbb {R} ^ {\\mathbb N }\\Text {oder }\\mathbb {C} ^ {\\mathbb N}. </Mathematik>

Maß von Lebesgue

Wenn S eine messbare Teilmenge von R mit dem Maß von Lebesgue ist, und f und g echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen auf S messbar sind, dann ist Ungleichheit von Hölder

:

Wahrscheinlichkeitsmaß

Für den Wahrscheinlichkeitsraum, lassen Sie E den Erwartungsmaschinenbediener anzeigen. Für den echten - oder Komplex-geschätzte zufällige Variablen X und Y auf Ω liest die Ungleichheit von Hölder

:

Lassen Sie 0 und 1, wir erhalten

:

Insbesondere wenn der s absolute Moment begrenzt ist, dann ist der r absolute Moment auch begrenzt. (Das folgt auch aus der Ungleichheit von Jensen.)

Produktmaß

Weil zwei σ-finite Räume messen und den Produktmaß-Raum durch definieren

:

wo S das Kartesianische Produkt von S und S ist, entsteht der σ-algebra Σ als Produkt σ-algebra von Σ und Σ, und μ zeigt das Produktmaß von μ und μ an. Dann erlaubt der Lehrsatz von Tonelli uns, die Ungleichheit von Hölder mit wiederholten Integralen umzuschreiben: Wenn f und g - oder Komplex-geschätzte Funktionen auf dem Kartesianischen Produkt S, dann echt

sind:

\int_ {S_1} &\\int_ {S_2} |f (x, y) \, g (x, y) | \, \mu_2 (\mathrm {d} y) \, \mu_1 (\mathrm {d} x) \\

&\\le\biggl (\int_ {S_1 }\\int_ {S_2} |f (x, y) | ^p \,\mu_2 (\mathrm {d} y) \, \mu_1 (\mathrm {d} x) \biggr) ^ {\\! 1/p \; }\\biggl (\int_ {S_1 }\\int_ {S_2} |g (x, y) | ^q \,\mu_2 (\mathrm {d} y) \, \mu_1 (\mathrm {d} x) \biggr) ^ {\\! 1/q}.\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das kann zu mehr als zwei σ-Finite-Maß-Räumen verallgemeinert werden.

Vektor-geschätzte Funktionen

Lassen Sie zeigen an, dass ein σ-finite Raum misst und annimmt, dass und Funktionen auf S sind, Werte im n-dimensional echten - oder komplizierter Euklidischer Raum nehmend. Durch die Einnahme des Produktes mit dem Zählen messen auf}, wir können die obengenannte Produktmaß-Version der Ungleichheit von Hölder in der Form umschreiben

:

\int_S&\sum_ {k=1} ^n|f_k (x) \, g_k (x) | \, \mu (\mathrm {d} x) \\

&\\le\biggl (\int_S\sum_ {k=1} ^n|f_k (x) | ^p \,\mu (\mathrm {d} x) \biggr) ^ {\\! 1/p \; }\\biggl (\int_S\sum_ {k=1} ^n|g_k (x) | ^q \,\mu (\mathrm {d} x) \biggr) ^ {\\! 1/q}.\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das verallgemeinert zu Funktionen f und g nehmende Werte in einem Folge-Raum.

Beweis der Ungleichheit von Hölder

Es gibt mehrere Beweise der Ungleichheit von Hölder; die Hauptidee im folgenden ist die Ungleichheit von Young.

Wenn ||f || = 0, dann ist f Null μ-almost überall, und das Produkt fg Null μ-almost überall ist, folglich ist die linke Seite der Ungleichheit von Hölder Null. Dasselbe ist wenn ||g || = 0 wahr. Deshalb können wir ||f ||> 0 und ||g ||> 0 im folgenden annehmen.

Wenn ||f || =  oder ||g || = , dann ist die Rechte der Ungleichheit von Hölder unendlich. Deshalb können wir annehmen, dass ||f || und ||g || in (0, ) sind.

Wenn p =  und q = 1, dann |fg |  ||f || |g | fast überall und Ungleichheit von Hölders folgt aus dem Monomuskeltonus von integriertem Lebesgue. Ähnlich für p = 1 und q = . Deshalb können wir auch p, q  (1, ) annehmen.

Sich f und g durch ||f || und ||g || beziehungsweise teilend, können wir das annehmen

:

Wir verwenden jetzt die Ungleichheit von Young, die das festsetzt

:

für den ganzen nichtnegativen a und b, wo Gleichheit wenn und nur wenn a&thinsp erreicht wird; = b&thinsp;. folglich

:

Anwendungen

• Die extremal Gleichheit ist einer der Wege, für den Dreieck-Ungleichheits-ƒ + ƒ  ƒ + ƒ&thinsp zu beweisen; für den ganzen ƒ und ƒ in L (μ), sieh Ungleichheit von Minkowski.
• Die Ungleichheit von Hölder deutet an, dass jeder ƒ  L (μ) einen begrenzten (oder dauernd) geradliniger funktioneller κ auf L (μ) durch die Formel definiert

::

:The extremal Gleichheit (wenn wahr) zeigt, dass die Norm dieses funktionellen κ als Element des dauernden Doppelraums L (μ) mit der Norm &fnof zusammenfällt; in L (μ) (sieh auch den L-Raumartikel).

Generalisation der Ungleichheit von Hölder

Nehmen Sie dass r  (0, ) und p, …, p  an (0,  solch dass

:

Dann, für alle messbar echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen f, …, f definiert auf S,

:

In der besonderen Einzelheit,

:

Zeichen:

• Für r  (0, 1), gegen die Notation. ist im Allgemeinen nicht eine Norm, weil sie die Dreieck-Ungleichheit nicht befriedigt.

Wir verwenden die Ungleichheit von Hölder und mathematische Induktion. Für n = 1 ist das Ergebnis offensichtlich. Lassen Sie uns jetzt von n &minus gehen; 1 zu n. Ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen dass p  …  p an.

Fall 1: Wenn p = , dann

:

Das wesentliche Supremum von |f und mit der Induktionsvoraussetzung herausziehend, bekommen wir

:

&\\le \| f_1 \|_ {p_1 }\\cdots \| f_ {n-1 }\\| _ {p_ {n-1} }\\|f_n \|_\infty.\end {richten} </Mathematik> {aus}

Fall 2: Wenn p und

sind Hölder paart sich in (1, ). Die Anwendung der Ungleichheit von Hölder gibt

:

\le\bigl \|| f_1\cdots f_ {n-1} | ^r\bigr \| _ p \,\bigl \|| f_n |^r\bigr \| _ q. </math>

Zur Macht 1/r und dem Neuschreiben, erhebend

:

Seitdem qr = p und

:

die geforderte Ungleichheit folgt jetzt durch das Verwenden der Induktionsvoraussetzung.

Interpolation

Lassen Sie p, …, p  (0,  und lassen Sie θ, …, θ  (0, 1) zeigen Gewichte mit θ + … + θ = 1 an. Definieren Sie p als die belastete Harmonische bösartig, d. h.,

:

In Anbetracht eines messbaren echten - oder Komplex-geschätzte Funktionen f auf S, definieren Sie

:

Dann durch die obengenannte Generalisation der Ungleichheit von Hölder,

:

Als ein Interpolationsergebnis für n = 2,

:

wo θ  (0, 1) und

:

Kehren Sie Hölder Ungleichheit um

Nehmen Sie an, dass p  (1, ), und dass der Maß-Raum (S, , ) μ (S)> 0 befriedigt. Dann, für alle messbar echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen f und g auf solchem S dass g (s)  0 für μ-almost der ganze s  S,

:

Wenn ||fg ||> 0, dann ist die Rückungleichheit von Hölder eine Gleichheit, wenn, und nur wenn dort ein α  0 solches dass besteht

: μ-almost überall.

Zeichen: ||f || und ||g || sind nicht Normen, diese Ausdrücke sind gerade Kompaktnotation für

: und

Bemerken Sie das p und

:

sind Hölder paart sich. Die Anwendung der Ungleichheit von Hölder gibt

:

&\\le \bigl \|| fg |^ {1/p }\\bigr \| _ p \,\bigl \|| g |^ {-1/p }\\bigr \| _ q

\fg \_ 1^ {1/p }\\, \bigl\g^ {-1 / (p-1) }\\bigr \_ 1^ {(p-1)/p}.\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Aufhebung zur Macht p, das Neuschreiben und das Lösen für ||fg || geben die Rückungleichheit von Hölder.

Da g fast überall der Nullfunktion nicht gleich ist, können wir Gleichheit haben, wenn, und nur wenn dort ein unveränderlicher α  0 solches dass |fg | =  |g | fast überall besteht. Das Lösen für den absoluten Wert von f gibt den Anspruch.

Bedingte Hölder Ungleichheit

Lassen Sie, ein Wahrscheinlichkeitsraum, ein U-Boot \U 03C3\Algebra und p, q  (1, ) zu sein, Hölder paart sich, dass 1/p + 1/q = 1 meinend. Dann, für alle echt - oder Komplex-geschätzte zufällige Variablen X und Y auf Ω,

:

\le

\bigl (\operatorname {E }\\bigl [|X |^p\big | \,\mathcal {G }\\bigr] \bigr) ^ {1/p }\

\\bigl (\operatorname {E }\\bigl [|Y |^q\big | \,\mathcal {G }\\bigr] \bigr) ^ {1/q }\

\qquad\mathbb {P }\\Text {-fast surely.} </Mathematik>

Bemerkungen:

• Wenn eine nichtnegative zufällige Variable Z unendlichen erwarteten Wert hat, dann wird seine bedingte Erwartung durch definiert

::

• Auf der rechten Seite der bedingten Ungleichheit von Hölder, 0mal  sowie  Zeiten 0 Mittel 0. Das Multiplizieren a> 0 mit  gibt .

Definieren Sie die zufälligen Variablen

:

und bemerken Sie, dass sie in Bezug auf das U-Boot \U 03C3\Algebra messbar sind. Seitdem

:

\operatorname {E }\\bigl [1_ {\\{U

0\} }\\underbrace {\\operatorname {E }\\bigl [|X |^p\big | \,\mathcal {G }\\bigr]} _ {= \, U^p }\\bigr] =0, </Mathematik>

hieraus folgt dass |X | = 0 a.s. auf dem Satz {U = 0}. Ähnlich |Y | = 0 a.s. auf dem Satz {V = 0}, folglich

:

und die bedingte Ungleichheit von Hölder hält dieser Satz fest. Auf dem Satz

:

die Rechte ist unendlich, und die bedingte Ungleichheit von Hölder hält auch. Sich durch die Rechte teilend, muss es deshalb, dem zu zeigen

:

\qquad\text {a.s. auf dem Satz} H: =\{0

Das wird durch das Überprüfen getan, dass die Ungleichheit nach der Integration über einen willkürlichen hält

:

Mit dem measurability von U, V, 1 in Bezug auf das U-Boot \U 03C3\Algebra, die Regeln für bedingte Erwartungen, die Ungleichheit von Hölder und 1/p + 1/q = 1, sehen wir das

:

\operatorname {E }\\biggl [\frac {\\operatorname {E }\\bigl [|XY |\big | \,\mathcal {G }\\bigr]} {UV} 1_G\biggr]

&= \operatorname {E }\\biggl [\operatorname {E }\\biggl [\frac {UV} 1_G\bigg | \,\mathcal {G }\\biggr] \biggr] \\

&= \operatorname {E }\\biggl [\frac {U} 1_G\cdot\frac {V} 1_G\biggr] \\

&\\le\biggl (\operatorname {E }\\biggl [\fracX |^p} {U^p} 1_G\biggr] \biggr) ^ {\\! 1/p \; }\

\biggl (\operatorname {E }\\biggl [\fracY |^q} {V^q} 1_G\biggr] \biggr) ^ {\\! 1/q }\\\

&= \biggl (\operatorname {E }\\biggl [\underbrace {\\frac {\\operatorname {E }\\bigl [|X |^p\big | \,\mathcal {G }\\bigr]} {U^p}} _ {= \, 1\text {a.s. auf} G} 1_G\biggr] \biggr) ^ {\\! 1/p \; }\

\biggl (\operatorname {E }\\biggl [\underbrace {\\frac {\\operatorname {E }\\bigl [|Y |^q\big | \,\mathcal {G }\\bigr]} {V^p}} _ {= \, 1\text {a.s. auf} G} 1_G\biggr] \biggr) ^ {\\! 1/q }\\\

&= \operatorname {E }\\bigl [1_G\bigr].

\end {richten} </Mathematik> {aus}

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• . Verfügbar an Digi Zeitschriften.

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