In der Kontinuum-Mechanik, der unendlich kleinen Beanspruchungstheorie, hat manchmal kleine Deformierungstheorie genannt, kleine Versetzungstheorie oder kleine Versetzungsanstieg-Theorie, befasst sich mit unendlich kleinen Deformierungen eines Kontinuum-Körpers. Für eine unendlich kleine Deformierung sind die Versetzungen und die Versetzungsanstiege im Vergleich zur Einheit klein, d. h., und, den geometrischen linearisation von Lagrangian begrenzter Deformationstensor und Eulerian begrenzter Deformationstensor berücksichtigend, d. h. die nichtlinearen Begriffe oder Begriffe der zweiten Ordnung des begrenzten Deformationstensors können vernachlässigt werden. Die linearised Deformationstensoren von Lagrangian und Eulerian sind ungefähr dasselbe und können durch den unendlich kleinen Deformationstensor oder den Deformationstensor von Cauchy näher gekommen werden. So,

:

oder

:

Die unendlich kleine Beanspruchungstheorie wird in der Analyse von Deformierungen von Materialien verwendet, die elastisches Verhalten wie Materialien ausstellen, die im Maschinenbau und den Anwendungen des Hoch- und Tiefbau, z.B Beton und Stahl gefunden sind.

Unendlich kleiner Deformationstensor

Für unendlich kleine Deformierungen eines Kontinuum-Körpers, in dem die Versetzungen und die Versetzungsanstiege im Vergleich zur Einheit klein sind, d. h., und, ist es möglich, einen geometrischen linearisation von Lagrangian begrenzter Deformationstensor und Eulerian begrenzter Deformationstensor durchzuführen. In solch einem linearisation werden die nichtlinearen Begriffe oder Begriffe der zweiten Ordnung des begrenzten Deformationstensors vernachlässigt. So haben wir

:oder:und:oder:

Dieser linearisation deutet an, dass die Beschreibung von Lagrangian und die Beschreibung von Eulerian ungefähr dasselbe sind, weil es wenig Unterschied in den materiellen und räumlichen Koordinaten eines gegebenen materiellen Punkts im Kontinuum gibt. Deshalb sind die materiellen Versetzungsanstieg-Bestandteile und die Raumversetzungsanstieg-Bestandteile ungefähr gleich. So haben wir

:oder

wo die Bestandteile des unendlich kleinen Deformationstensors, auch genannt den Deformationstensor von Cauchy, geradlinigen Deformationstensor oder kleinen Deformationstensor sind.

:

\varepsilon_ {ij} &= \frac {1} {2 }\\ist (u_ {ich, j} +u_ {j, ich }\\Recht) \\abgereist

&=

\left [\begin {Matrix-}\

\varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\

\varepsilon_ {21} & \varepsilon_ {22} & \varepsilon_ {23} \\

\varepsilon_ {31} & \varepsilon_ {32} & \varepsilon_ {33} \\

\end {Matrix-}\\Recht] \\

&= \left [\begin {Matrix-}\

\frac {\\teilweiser u_1} {\\teilweiser x_1} & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_1} {\\teilweiser x_2} + \frac {\\teilweiser u_2} {\\teilweiser x_1 }\\Recht) & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_1} {\\teilweiser x_3} + \frac {\\teilweiser u_3} {\\teilweiser x_1 }\\Recht) \\

\frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_2} {\\teilweiser x_1} + \frac {\\teilweiser u_1} {\\teilweiser x_2 }\\Recht) & \frac {\\teilweiser u_2} {\\teilweiser x_2} & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_2} {\\teilweiser x_3} + \frac {\\teilweiser u_3} {\\teilweiser x_2 }\\Recht) \\

\frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_3} {\\teilweiser x_1} + \frac {\\teilweiser u_1} {\\teilweiser x_3 }\\Recht) & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_3} {\\teilweiser x_2} + \frac {\\teilweiser u_2} {\\teilweiser x_3 }\\Recht) & \frac {\\teilweiser u_3} {\\teilweiser x_3} \\

\end {Matrix-}\\Recht] \end {richten} </Mathematik> {aus}

oder das Verwenden verschiedener Notation:

:

\varepsilon_ {xx} & \varepsilon_ {xy} & \varepsilon_ {xz} \\

\varepsilon_ {yx} & \varepsilon_ {yy} & \varepsilon_ {yz} \\

\varepsilon_ {zx} & \varepsilon_ {zy} & \varepsilon_ {zz} \\

\end {Matrix-}\\Recht]

\left [\begin {Matrix-}\

\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweise x\& \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweise y\+ \frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweiser x }\\Recht) & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweise z\+ \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser x }\\Recht) \\

\frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweise x\+ \frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweiser y }\\Recht) & \frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweise y\& \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweise z\+ \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser y }\\Recht) \\

\frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise x\+ \frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweiser z }\\Recht) & \frac {1} {2} \left (\frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise y\+ \frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweiser z }\\Recht) & \frac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise z\\\

\end {Matrix-}\\Recht] \, \! </Mathematik>

Außerdem, da der Deformierungsanstieg als ausgedrückt werden kann, wo der Identitätstensor der zweiten Ordnung ist, haben wir

:

Außerdem vom allgemeinen Ausdruck für Lagrangian und Eulerian begrenzte Deformationstensoren haben wir

:

\begin {richten }\aus

\mathbf E_ {(m)} & = \frac {1} {2 M} (\mathbf U^ {2 M}-\boldsymbol {ich}) = \frac {1} {2 M} [(\boldsymbol {F} ^T\boldsymbol {F}) ^m - \boldsymbol {ich}] \approx \frac {1} {2 M} [\{\\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u} + (\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u}) ^T + \boldsymbol {ich }\\} ^m - \boldsymbol {ich}] \approx \boldsymbol {\\varepsilon }\\\

\mathbf e_ {(m)} & = \frac {1} {2 M} (\mathbf V^ {2 M}-\boldsymbol {ich}) = \frac {1} {2 M} [(\boldsymbol {F }\\boldsymbol {F} ^T) ^m - \boldsymbol {ich}] \approx \boldsymbol {\\varepsilon }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Geometrische Abstammung des unendlich kleinen Deformationstensors

Das Betrachten einer zweidimensionalen Deformierung eines unendlich kleinen rechteckigen materiellen Elements mit Dimensionen durch (die Abbildung 1), der nach der Deformierung, nimmt die Form eines Rhombus an. Von der Geometrie der Abbildung 1 haben wir

:

\overline {ab} &= \sqrt {\\ist (dx +\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweise x\dx \right) ^2 + \left (\frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweise x\dx \right) ^2} \\abgereist

&= \sqrt {1+2\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweise x\+ \left (\frac {\\teilweiser u_x} {\\teilweiser x }\\Recht) ^2 + \left (\frac {\\teilweiser u_y} {\\teilweiser x }\\Recht) ^2} dx \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Für sehr kleine Versetzungsanstiege, d. h., haben wir

:

Die normale Beanspruchung in - Richtung des rechteckigen Elements wird durch definiert

:

und wissend, dass wir haben

:

Ähnlich wird die normale Beanspruchung in - Richtung, und - Richtung,

:

Die Technik schert Beanspruchung, oder die Änderung im Winkel zwischen zwei ursprünglich orthogonalen materiellen Linien, in diesem Fall Linie und, wird als definiert

:

Von der Geometrie der Abbildung 1 haben wir

:

Für kleine Folgen, d. h. und sind wir haben

:

und, wieder, für kleine Versetzungsanstiege, haben wir

:

so

:

Durch das Austauschen und und und kann ihm das gezeigt werden

Ähnlich für - und - Flugzeuge haben wir

:

Es kann gesehen werden, dass die tensorial mähen, können Beanspruchungsbestandteile des unendlich kleinen Deformationstensors dann mit der Technikbeanspruchungsdefinition, als ausgedrückt werden

\varepsilon_ {xx} & \varepsilon_ {xy} & \varepsilon_ {xz} \\ \varepsilon_ {yx} & \varepsilon_ {yy} & \varepsilon_ {yz} \\ \varepsilon_ {zx} & \varepsilon_ {zy} & \varepsilon_ {zz} \\

\end {Matrix-}\\Recht] = \left [\begin {Matrix-}\

\varepsilon_ {xx} & \gamma_ {xy}/2 & \gamma_ {xz}/2 \\

\gamma_ {yx}/2 & \varepsilon_ {yy} & \gamma_ {yz}/2 \\

\gamma_ {zx}/2 & \gamma_ {zy}/2 & \varepsilon_ {zz} \\

\end {Matrix-}\\Recht] \, \! </Mathematik>

Physische Interpretation des unendlich kleinen Deformationstensors

Aus der begrenzten Beanspruchungstheorie haben wir

:

Für unendlich kleine Beanspruchungen dann haben wir

:

Das Teilen durch haben uns

:

Für kleine Deformierungen nehmen wir an, dass so der zweite Begriff der linken Seite wird:.

Dann haben wir

:

wo, der Einheitsvektor in der Richtung auf ist, und der Ausdruck der linken Seite die normale Beanspruchung in der Richtung darauf ist. Für den besonderen Fall in der Richtung, d. h. haben wir

:

Ähnlich für und können wir die normalen Beanspruchungen und beziehungsweise finden. Deshalb sind die diagonalen Elemente des unendlich kleinen Deformationstensors die normalen Beanspruchungen in den Koordinatenrichtungen.

Beanspruchungstransformationsregeln

Wenn wir ein orthonormales Koordinatensystem wählen , können wir den Tensor in Bezug auf Bestandteile in Bezug auf jene Grundvektoren als schreiben

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \sum_ {i=1} ^3 \sum_ {j=1} ^3 \varepsilon_ {ij} \mathbf {e} _i\otimes\mathbf {e} _j

</Mathematik>

In der Matrixform,

:

\underline {\\unterstreichen {\\boldsymbol {\\varepsilon}}} = \begin {bmatrix} \varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\

\varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {22} & \varepsilon_ {23} \\

\varepsilon_ {13} & \varepsilon_ {23} & \varepsilon_ {33} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Wir können leicht beschließen, ein anderes orthonormales Koordinatensystem stattdessen zu verwenden. In diesem Fall sind die Bestandteile des Tensor verschieden, sagen

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \sum_ {i=1} ^3 \sum_ {j=1} ^3 \hat {\\varepsilon} _ {ij} \hat {\\mathbf {e}} _i\otimes\hat {\\mathbf {e}} _j \quad \implies \quad \underline {\\unterstreichen {\\boldsymbol {\\varepsilon}}} = \begin {bmatrix} \hat {\\varepsilon} _ {11} & \hat {\\varepsilon} _ {12} & \hat {\\varepsilon} _ {13} \\

\hat {\\varepsilon} _ {12} & \hat {\\varepsilon} _ {22} & \hat {\\varepsilon} _ {23} \\

\hat {\\varepsilon} _ {13} & \hat {\\varepsilon} _ {23} & \hat {\\varepsilon} _ {33} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Die Bestandteile der Beanspruchung in den zwei Koordinatensystemen sind durch verbunden

:

\hat {\\varepsilon} _ {ij} = \ell_ {ip} ~ \ell_ {jq} ~ \varepsilon_ {pq }\

</Mathematik>

wo die Summierungstagung von Einstein für wiederholte Indizes verwendet worden ist und. In der Matrixform

:

\underline {\\unterstreichen {\\Hut {\\boldsymbol {\\varepsilon}}}} = \underline {\\unterstreichen, dass {\\mathbf {L}}} ~ \underline {\\unterstreichen, dass {\\boldsymbol {\\varepsilon}}} ~ \underline {\\{\\mathbf {L}}} ^T unterstreichen

</Mathematik>oder:

\begin {bmatrix} \hat {\\varepsilon} _ {11} & \hat {\\varepsilon} _ {12} & \hat {\\varepsilon} _ {13} \\

\hat {\\varepsilon} _ {21} & \hat {\\varepsilon} _ {22} & \hat {\\varepsilon} _ {23} \\

\hat {\\varepsilon} _ {31} & \hat {\\varepsilon} _ {32} & \hat {\\varepsilon} _ {33} \end {bmatrix }\

= \begin {bmatrix} \ell_ {11} & \ell_ {12} & \ell_ {13} \\\ell_ {21} & \ell_ {22} & \ell_ {23} \\\ell_ {31} & \ell_ {32} & \ell_ {33} \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\

\varepsilon_ {21} & \varepsilon_ {22} & \varepsilon_ {23} \\

\varepsilon_ {31} & \varepsilon_ {32} & \varepsilon_ {33} \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \ell_ {11} & \ell_ {12} & \ell_ {13} \\\ell_ {21} & \ell_ {22} & \ell_ {23} \\\ell_ {31} & \ell_ {32} & \ell_ {33} \end {bmatrix} ^T

</Mathematik>

Beanspruchung invariants

Bestimmte Operationen auf dem Deformationstensor geben dasselbe Ergebnis, ohne Rücksicht auf das orthonormales Koordinatensystem verwendet wird, um die Bestandteile der Beanspruchung zu vertreten. Die Ergebnisse dieser Operationen werden Beanspruchung invariants genannt. Die meistens verwendete Beanspruchung invariants ist

:

\begin {richten }\aus

I_1 & = \mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon}) \\

I_2 & = \tfrac {1} {2 }\\{\\mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon} ^2) - [\mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon})] ^2\} \\

I_3 & = \det (\boldsymbol {\\varepsilon})

\end {richten }\aus

</Mathematik>

In Bezug auf Bestandteile

: \begin {richten }\aus

I_1 & = \varepsilon_ {11} + \varepsilon_ {22} + \varepsilon_ {33} \\

I_2 & = \varepsilon_ {12} ^2 + \varepsilon_ {23} ^2 + \varepsilon_ {31} ^2 - \varepsilon_ {11 }\\varepsilon_ {22} - \varepsilon_ {22 }\\varepsilon_ {33} - \varepsilon_ {33 }\\varepsilon_ {11} \\

I_3 & = \varepsilon_ {11} (\varepsilon_ {22 }\\varepsilon_ {33} - \varepsilon_ {23} ^2) - \varepsilon_ {12} (\varepsilon_ {12 }\\varepsilon_ {33}-\varepsilon_ {23 }\\varepsilon_ {31}) + \varepsilon_ {13} (\varepsilon_ {12 }\\varepsilon_ {23}-\varepsilon_ {22 }\\varepsilon_ {31})

\end {richten }\aus </Mathematik>

Hauptbeanspruchungen

Es kann gezeigt werden, dass es möglich ist, ein Koordinatensystem zu finden , in dem die Bestandteile des Deformationstensors sind

:

\underline {\\unterstreichen {\\boldsymbol {\\varepsilon}}} = \begin {bmatrix} \varepsilon_ {1} & 0 & 0 \\

0 & \varepsilon_ {2} & 0 \\

0 & 0 & \varepsilon_ {3} \end {bmatrix} \quad \implies \quad \boldsymbol {\\varepsilon} = \varepsilon_ {1} \mathbf {n} _1\otimes\mathbf {n} _1 + \varepsilon_ {2} \mathbf {n} _2\otimes\mathbf {n} _2 + \varepsilon_ {3} \mathbf {n} _3\otimes\mathbf {n} _3

</Mathematik>

Die Bestandteile des Deformationstensors in Koordinatensystem wird die Hauptbeanspruchungen genannt, und die Richtungen werden die Richtungen der Hauptbeanspruchung genannt. Da es gibt, nicht scheren Beanspruchungsbestandteile in diesem Koordinatensystem, die Hauptbeanspruchungen vertreten das maximale und minimale Strecken eines elementaren Volumens.

Wenn uns die Bestandteile des Deformationstensors in einem willkürlichen orthonormalen Koordinatensystem gegeben werden, können wir die Hauptbeanspruchungen mit einer eigenvalue bestimmten Zergliederung finden, indem wir das Gleichungssystem lösen

:

(\underline {\\unterstreichen, dass {\\boldsymbol {\\varepsilon}}} - \varepsilon_i ~\underline {\\{\\mathbf {ich}}} unterstreichen) ~ \mathbf {n} _i = \underline {\\, unterstreichen {\\mathbf {0}} }\

</Mathematik>

Dieses Gleichungssystem ist zur Entdeckung des Vektoren gleichwertig, entlang dem der Deformationstensor ein reines Strecken ohne wird, scheren Bestandteil.

Volumetrische Beanspruchung

Die Ausdehnung (die Verhältnisschwankung des Volumens) ist die Spur des Tensor:

:

Wirklich, wenn wir einen Würfel mit einer Rand-Länge a denken, ist es ein Quasiwürfel nach der Deformierung (die Schwankungen der Winkel ändern das Volumen nicht) mit den Dimensionen und V = a, so

:

weil wir kleine Deformierungen, denken

:

deshalb die Formel.

Im Falle des reinen mähen, wir können sehen, dass es keine Änderung des Volumens gibt.

Spannen Sie deviator Tensor

Der unendlich kleine Deformationstensor, ähnlich zum Spannungstensor, kann als die Summe von zwei anderem Tensor ausgedrückt werden:

1. ein Mitteldeformationstensor oder volumetrischer Deformationstensor oder kugelförmiger Deformationstensor haben sich auf die Ausdehnung oder Volumen-Änderung bezogen; und
2. ein deviatoric Bestandteil hat die Beanspruchung deviator Tensor, verbunden mit der Verzerrung genannt.

:

wo die durch gegebene Mittelbeanspruchung ist

:

Der deviatoric Deformationstensor kann durch das Abziehen des Mitteldeformationstensors vom unendlich kleinen Deformationstensor erhalten werden:

:

\\varepsilon' _ {ij} &= \varepsilon_ {ij} - \frac {\\varepsilon_ {kk}} {3 }\\delta_ {ij} \\

\left [{\\beginnen {Matrix-}\

\varepsilon' _ {11} & \varepsilon' _ {12} & \varepsilon' _ {13} \\

\varepsilon' _ {21} & \varepsilon' _ {22} & \varepsilon' _ {23} \\

\varepsilon' _ {31} & \varepsilon' _ {32} & \varepsilon' _ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]

&= \left [beginnen {\\{Matrix-}\

\varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\

\varepsilon_ {21} & \varepsilon_ {22} & \varepsilon_ {23} \\ \varepsilon_ {31} & \varepsilon_ {32} & \varepsilon_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]-\left [{\\beginnen {Matrix-}\

\varepsilon_M & 0 & 0 \\

0 & \varepsilon_M & 0 \\

0 & 0 & \varepsilon_M \\

\end {matrix}-}\\Recht] \\

&= \left [beginnen {\\{Matrix-}\

\varepsilon_ {11}-\varepsilon_m & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\

\varepsilon_ {21} & \varepsilon_ {22}-\varepsilon_m & \varepsilon_ {23} \\

\varepsilon_ {31} & \varepsilon_ {32} & \varepsilon_ {33}-\varepsilon_m \\

\end {matrix}-}\\Recht] \\\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Beanspruchungen von Octahedral

Lassen Sie , die Richtungen der drei Hauptbeanspruchungen zu sein. Ein octahedral Flugzeug ist, wessen normal gleiche Winkel mit den drei Hauptrichtungen macht. Die Technik mäht die Beanspruchung auf einem octahedral Flugzeug wird genannt die octahedral scheren Beanspruchung, und wird durch gegeben

:

\gamma_ {\\mathrm {Okt}} = \tfrac {2} {3 }\\sqrt {(\varepsilon_1-\varepsilon_2) ^2 + (\varepsilon_2-\varepsilon_3) ^2 + (\varepsilon_3-\varepsilon_1) ^2 }\

</Mathematik>

wo die Hauptbeanspruchungen sind.

Die normale Beanspruchung auf einem octahedral Flugzeug wird durch gegeben

:

\varepsilon_ {\\mathrm {Okt}} = \tfrac {1} {3} (\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3)

</Mathematik>

Gleichwertige Beanspruchung

Eine Skalarmenge hat die gleichwertige Beanspruchung oder den von Mises gleichwertige Beanspruchung genannt, wird häufig verwendet, um den Staat der Beanspruchung in Festkörpern zu beschreiben. Mehrere Definitionen der gleichwertigen Beanspruchung können in der Literatur gefunden werden. Eine Definition, die in der Literatur auf der Knetbarkeit allgemein verwendet wird, ist

:

\varepsilon_ {\\mathrm {eq}} = \sqrt {\\tfrac {2} {3} \boldsymbol {\\varepsilon} ^ {\\mathrm {dev}}:\boldsymbol {\\varepsilon} ^ {\\mathrm {dev}}} = \sqrt {\\tfrac {2} {3 }\\varepsilon_ {ij} ^ {\\mathrm {dev} }\\varepsilon_ {ij} ^ {\\mathrm {dev}}}

~; ~~ \boldsymbol {\\varepsilon} ^ {\\mathrm {dev}} = \boldsymbol {\\varepsilon} - \tfrac {1} {3 }\\mathrm {tr} (\boldsymbol {\\varepsilon}) ~ \boldsymbol {1}

</Mathematik>

Diese Menge ist Arbeit, die zur gleichwertigen Betonung verbunden ist, definiert als

:

\sigma_ {\\mathrm {eq}} = \sqrt {\\tfrac {3} {2} \boldsymbol {\\Sigma} ^ {\\mathrm {dev}}:\boldsymbol {\\Sigma} ^ {\\mathrm {dev}} }\

</Mathematik>

Vereinbarkeitsgleichungen

Für vorgeschriebene Beanspruchungsbestandteile vertritt die Deformationstensor-Gleichung ein System von sechs Differenzialgleichungen für den Entschluss von drei Versetzungsbestandteilen, ein überentschlossenes System gebend. So besteht eine Lösung für eine willkürliche Wahl von Beanspruchungsbestandteilen nicht allgemein. Deshalb werden einige Beschränkungen, genannt Vereinbarkeitsgleichungen, den Beanspruchungsbestandteilen auferlegt. Mit der Hinzufügung der drei Vereinbarkeitsgleichungen wird die Anzahl von unabhängigen Gleichungen zu drei vermindert, die Zahl von unbekannten Versetzungsbestandteilen vergleichend. Diese Einschränkungen auf den Deformationstensor wurden von Saint-Venant entdeckt, und werden die "Heilig 1Venantvereinbarkeitsgleichungen" genannt.

Die Vereinbarkeitsfunktionen dienen, um eine einzeln geschätzte dauernde Versetzungsfunktion zu sichern. Wenn das elastische Medium als eine Reihe unendlich kleiner Würfel im ungespannten Staat vergegenwärtigt wird, nachdem das Medium gespannt wird, kann ein willkürlicher Deformationstensor keine Situation nachgeben, in der die verdrehten Würfel noch zusammen ohne Überschneidung passen.

In der Index-Notation werden die Vereinbarkeitsgleichungen als ausgedrückt

::

Spezielle Fälle

Flugzeug-Beanspruchung

In echten Technikbestandteilen ist Betonung (und Beanspruchung) 3. Tensor, aber in prismatischen Strukturen wie ein langes Metallbillett ist die Länge der Struktur viel größer als die anderen zwei Dimensionen. Die Beanspruchungen haben mit der Länge, d. h., die normale Beanspruchung und die scheren Beanspruchungen und verkehrt (wenn die Länge der 3-Richtungen-ist), werden durch das nahe gelegene Material beschränkt und sind im Vergleich zu den Quer-Schnittbeanspruchungen klein. Flugzeug-Beanspruchung ist dann eine annehmbare Annäherung. Der Deformationstensor für die Flugzeug-Beanspruchung wird als geschrieben:

:

\varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & 0 \\

\varepsilon_ {21} & \varepsilon_ {22} & 0 \\

0 & 0 & 0\end {bmatrix }\\, \! </Mathematik>

in dem die doppelte Unterstreichung einen zweiten Ordnungstensor anzeigt. Dieser Beanspruchungsstaat wird Flugzeug-Beanspruchung genannt. Der entsprechende Spannungstensor ist:

:

\sigma_ {11} & \sigma_ {12} & 0 \\

\sigma_ {21} & \sigma_ {22} & 0 \\

0 & 0 & \sigma_ {33 }\\Ende {bmatrix }\\, \! </Mathematik>

in dem die Nichtnull erforderlich ist, um die Einschränkung aufrechtzuerhalten. Dieser Betonungsbegriff kann von der Analyse provisorisch entfernt werden, um nur instufigem Begriffe abzureisen, effektiv das 3. Problem auf ein viel einfacheres 2. Problem reduzierend.

Antiflugzeug-Beanspruchung

Antiflugzeug-Beanspruchung ist ein anderer spezieller Staat der Beanspruchung, die in einem Körper zum Beispiel in einem Gebiet in der Nähe von einer Schraube-Verlagerung vorkommen kann. Der Deformationstensor für die Antiflugzeug-Beanspruchung wird durch gegeben

:

0 & 0 & \varepsilon_ {13} \\

0 & 0 & \varepsilon_ {23 }\\\

\varepsilon_ {13} & \varepsilon_ {23} & 0\end {bmatrix }\\, \! </Mathematik>

Unendlich kleiner Folge-Tensor

Der unendlich kleine Deformationstensor wird als definiert

:

\boldsymbol {\\varepsilon} = \frac {1} {2} [\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u} + (\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u}) ^T]

</Mathematik>

Deshalb kann der Versetzungsanstieg als ausgedrückt werden

:

\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u} = \boldsymbol {\\varepsilon} + \boldsymbol {\\Omega }\

</Mathematik>wo:

\boldsymbol {\\Omega}: = \frac {1} {2} [\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u} - (\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u}) ^T]

</Mathematik>

Die Menge ist der unendlich kleine Folge-Tensor. Dieser Tensor ist verdrehen symmetrisch. Für unendlich kleine Deformierungen befriedigen die Skalarbestandteile dessen die Bedingung. Bemerken Sie, dass der Versetzungsanstieg nur klein ist, wenn sowohl der Deformationstensor als auch der Folge-Tensor unendlich klein sind.

Der axiale Vektor

Ein Verdrehen symmetrischen Tensor der zweiten Ordnung hat drei unabhängige Skalarbestandteile. Diese drei Bestandteile werden verwendet, um einen axialen Vektoren, wie folgt zu definieren

:

\omega_ {ij} =-\epsilon_ {ijk} ~w_k ~; ~~ w_i =-\tfrac {1} {2} ~ \epsilon_ {ijk} ~ \omega_ {jk }\

</Mathematik>

wo das Versetzungssymbol ist. In der Matrixform

:

\underline {\\unterstreichen {\\boldsymbol {\\Omega}}} = \begin {bmatrix} 0 &-w_3 & w_2 \\w_3 & 0 &-w_1 \\-w_2 & w_1 & 0\end {bmatrix} ~; ~~ \underline {\\unterstreichen {\\mathbf {w}}} = \begin {bmatrix} w_1 \\w_2 \\w_3 \end {bmatrix }\

</Mathematik>

Der axiale Vektor wird auch den unendlich kleinen Folge-Vektoren genannt. Der Folge-Vektor ist mit dem Versetzungsanstieg durch die Beziehung verbunden

:

\mathbf {w} = \tfrac {1} {2} ~ \boldsymbol {\\nabla }\\times\mathbf {u }\

</Mathematik>

In der Index-Notation

:

w_i = \tfrac {1} {2} ~ \epsilon_ {ijk} ~u_ {k, j }\

</Mathematik>

Wenn und dann das Material eine ungefähre starre Körperfolge des Umfangs um den Vektoren erlebt.

Beziehung zwischen dem Deformationstensor und dem Folge-Vektoren

In Anbetracht eines dauernden, einzeln geschätzten Versetzungsfeldes und des entsprechenden unendlich kleinen Deformationstensors haben wir (sieh Tensor-Ableitung (Kontinuum-Mechanik))

:

\boldsymbol {\\nabla }\\times\boldsymbol {\\varepsilon} = e_ {ijk} ~ \varepsilon_ {lj, ich} ~ \mathbf {e} _k\otimes\mathbf {e} _l

= \tfrac {1} {2} ~e_ {ijk} ~ [u_ {l, ji} + u_ {j, li}] ~ \mathbf {e} _k\otimes\mathbf {e} _l

</Mathematik>

Da eine Änderung in der Ordnung der Unterscheidung das Ergebnis nicht ändert. Deshalb

:

\e_ {ijk} u_ {l, ji} = (e_ {12k} +e_ {21k}) u_ {l, 12} + (e_ {13k} +e_ {31k}) u_ {l, 13} + (e_ {23k} + e_ {32k}) u_ {l, 32} = 0

</Mathematik>

Auch

:

\tfrac {1} {2} ~e_ {ijk} ~u_ {j, li} = \left (\tfrac {1} {2} ~e_ {ijk} ~u_ {j, ich }\\Recht) _ {l} = \left (\tfrac {1} {2} ~e_ {kij} ~u_ {j, ich }\\Recht) _ {l} = w_ {k, l }\

</Mathematik>

Folglich

:

\boldsymbol {\\nabla }\\times\boldsymbol {\\varepsilon} = w_ {k, l} ~ \mathbf {e} _k\otimes\mathbf {e} _l = \boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {w }\

</Mathematik>

Beziehung zwischen Folge-Tensor und Folge-Vektoren

Von einer wichtigen Identität bezüglich der Locke eines Tensor wissen wir das für ein dauerndes, einzeln geschätztes Versetzungsfeld,

:

\boldsymbol {\\nabla }\\Zeiten (\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {u}) = \boldsymbol {0}.

</Mathematik>

Da wir haben

\boldsymbol {\\nabla }\\times\boldsymbol {\\Omega} =-\boldsymbol {\\nabla }\\times\boldsymbol {\\varepsilon} = - \boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {w}.

</Mathematik>

Deformationstensor in zylindrischen Koordinaten

In zylindrischen Polarkoordinaten kann der Versetzungsvektor als geschrieben werden

:

\mathbf {u} = u_r ~\mathbf {e} _r + u_\theta ~\mathbf {e} _ \theta + u_z ~\mathbf {e} _z

</Mathematik>

Die Bestandteile des Deformationstensors in einem zylindrischen Koordinatensystem werden durch gegeben

:

\begin {richten }\aus

\varepsilon_ {rr} & = \cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\\\

\varepsilon_ {\\theta\theta} & = \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \theta} + u_r\right) \\abgereist

\varepsilon_ {zz} & = \cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise z\\\

\varepsilon_ {r\theta} & = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {1} {r }\\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweise r\-\cfrac {u_\theta} {r }\\Recht) \\abgereist

\varepsilon_ {\\theta z\& = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser z} + \cfrac {1} {r }\\cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser \theta }\\Recht) \\abgereist

\varepsilon_ {zr} & = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser z} + \cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser r }\\Recht) abgereist

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Deformationstensor in kugelförmigen Koordinaten

In kugelförmigen Koordinaten kann der Versetzungsvektor als geschrieben werden

:

\mathbf {u} = u_r ~\mathbf {e} _r + u_\theta ~\mathbf {e} _ \theta + u_\phi ~\mathbf {e} _ \phi

</Mathematik>

Die Bestandteile des Deformationstensors in einem kugelförmigen Koordinatensystem werden durch gegeben

: \begin {richten }\aus \varepsilon_ {rr} & = \cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\\\ \varepsilon_ {\\theta\theta} & = \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \theta} + u_r\right) \\abgereist

\varepsilon_ {\\phi\phi} & = \cfrac {1} {r\sin\theta }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweiser \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right) \\abgereist

\varepsilon_ {r\theta} & = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {1} {r }\\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweise r\-\cfrac {u_\theta} {r }\\Recht) \\abgereist

\varepsilon_ {\\theta \phi} & = \cfrac {1} {2r }\\ist (\cfrac {1} {\\sin\theta }\\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \phi} + \cfrac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweiser \theta} - u_\phi\cot\theta\right) \\abgereist

\varepsilon_ {\\phi r\& = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {1} {r\sin\theta }\\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} + \cfrac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweise r\-\cfrac {u_\phi} {r }\\Recht) abgereist

\end {richten }\aus </Mathematik>

Siehe auch

• Deformierung (Mechanik)
• Vereinbarkeit (Mechanik)
• Betonung
• Beanspruchungsmaß
• Betonungsbeanspruchungskurve
• Das Gesetz von Hooke
• Das Verhältnis von Poisson
• Begrenzte Beanspruchungstheorie
• Beanspruchungsrate
• Flugzeug-Betonung
• Digitalbildkorrelation

Links