In der Mathematik (besonders algebraische Topologie und abstrakte Algebra) ist Homologie (teilweise von Griechisch  homos "identisch") ein bestimmtes allgemeines Verfahren, um eine Folge von abelian Gruppen oder Modulen mit einem gegebenen mathematischen Gegenstand wie ein topologischer Raum oder eine Gruppe zu vereinigen. Sieh Homologie-Theorie für mehr Hintergrund, oder einzigartige Homologie für eine konkrete Version für topologische Räume oder Gruppe cohomology für eine konkrete Version für Gruppen.

Für einen topologischen Raum sind die Homologie-Gruppen allgemein viel leichter zu rechnen als die homotopy Gruppen, und folglich wird man gewöhnlich eine leichtere Zeit haben, mit der Homologie arbeitend, um in der Klassifikation von Räumen zu helfen.

Die ursprüngliche Motivation, um Homologie-Gruppen zu definieren, ist die alltägliche Beobachtung, dass ein Aspekt der Gestalt eines Gegenstands seine Löcher ist. Aber weil ein Loch "nicht dort" ist, ist es nicht sofort offensichtlich, wie man ein Loch definiert, oder wie man zwischen verschiedenen Arten von Löchern unterscheidet. Homologie ist eine strenge mathematische Methode, um Löcher in einer Gestalt zu entdecken und zu kategorisieren. Da es sich erweist, dort bestehen Sie feine Arten von Löchern, die Homologie nicht "sehen" kann — in welchem Fall homotopy Gruppen sein können, was erforderlich ist.

Aufbau von Homologie-Gruppen

Der Aufbau beginnt mit einem Gegenstand wie ein topologischer Raum X, auf dem zuerst einen Kettenkomplex C (X) Verschlüsselungsinformation ungefähr X definiert. Ein Kettenkomplex ist eine Folge von abelian Gruppen oder Modulen C, C, C... verbunden durch den Homomorphismus, der Grenzmaschinenbediener genannt wird. Das, ist

:

\overset {\\partial_n} {\\longrightarrow \,} C_ {n-1 }\

\overset {\\partial_ {n-1}} {\\longrightarrow \, }\

\dotsb

\overset {\\partial_2} {\\longrightarrow \, }\

C_1

\overset {\\partial_1} {\\longrightarrow \, }\

C_0\overset {\\partial_0} {\\longrightarrow \,} 0 </Mathematik>

wo 0 die triviale Gruppe und weil ich anzeigt

d. h., die unveränderliche Karte, die jedes Element von C zur Gruppenidentität in C sendet. Das bedeutet.

Jetzt, da jeder C abelian ist, sind alle seine Untergruppen normal, und weil und beide Untergruppen von C sind, ist eine normale Untergruppe dessen, und man kann die Faktor-Gruppe denken

:

genannt die n-te Homologie-Gruppe X.

Wir verwenden auch die Notation und, so

:

Computerwissenschaft dieser zwei Gruppen ist gewöhnlich ziemlich schwierig, da sie sehr große Gruppen sind. Andererseits haben wir wirklich Werkzeuge, die die Aufgabe leichter machen.

Die simplicial Homologie-Gruppen H (X) eines simplicial Komplexes X werden mit dem simplicial Kettenkomplex C (X), mit C (X) die freie abelian Gruppe definiert, die durch den n-simplices X erzeugt ist. Die einzigartigen Homologie-Gruppen H (X) werden für jeden topologischen Raum X definiert, und stimmen mit den simplicial Homologie-Gruppen für einen simplicial Komplex überein.

Wie man

sagt, ist ein Kettenkomplex genau, wenn das Image (n + 1)-th Karte immer dem Kern der n-ten Karte gleich ist. Die Homologie-Gruppen X deshalb Maß, "wie weit" der Kettenkomplex, der zu X vereinigt ist, davon ist, genau zu sein.

Gruppen von Cohomology sind formell ähnlich: Man fängt mit einem cochain Komplex an, der dasselbe als ein Kettenkomplex ist, aber dessen Pfeile, jetzt D-Punkt in der Richtung auf die Erhöhung n angezeigt hat, anstatt n zu vermindern; dann folgen die Gruppen und aus derselben Beschreibung und

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wie zuvor.

Beispiele

Das Motivieren-Beispiel kommt aus der algebraischen Topologie: die simplicial Homologie eines simplicial Komplexes X. Hier ist A die freie abelian Gruppe oder das Modul, dessen Generatoren orientierte Simplexe des n-dimensional X sind. Die mappings werden die Grenze mappings genannt und senden das Simplex mit Scheitelpunkten

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zur Summe

:

(der 0 wenn n = 0 betrachtet wird).

Wenn wir die Module nehmen, um über ein Feld zu sein, dann erweist sich die Dimension der n-ten Homologie X, die Zahl von "Löchern" in X an der Dimension n zu sein.

Mit diesem Beispiel als ein Modell kann man eine einzigartige Homologie für jeden topologischen Raum X definieren. Wir definieren einen Kettenkomplex für X, indem wir nehmen, um die freie abelian Gruppe zu sein (oder das freie Modul), wessen Generatoren alle dauernden Karten von n-dimensional simplices in X sind, entsteht Der Homomorphismus aus den Grenzkarten von simplices.

In der abstrakten Algebra verwendet man Homologie, um abgeleiteten functors, zum Beispiel der Felsturm functors zu definieren. Hier fängt man mit einem kovarianten Zusatz functor F und einem Modul X an. Der Kettenkomplex für X wird wie folgt definiert: Finden Sie zuerst ein freies Modul F und einen surjective Homomorphismus p: F  X. Dann findet man ein freies Modul F und einen surjective Homomorphismus p: F  ker (p). Auf diese Mode weitergehend, kann eine Folge von freien Modulen F und Homomorphismus p definiert werden. Indem man den functor F zu dieser Folge anwendet, erhält man einen Kettenkomplex; die Homologie H dieses Komplexes hängt nur von F und X ab und ist definitionsgemäß, das n-te hat functor von F abgeleitet, der auf X angewandt ist.

Homologie functors

Kettenkomplexe bilden eine Kategorie: Ein morphism vom Kettenkomplex (d: Ein  A) zum Kettenkomplex (e: B  ist B) eine Folge des Homomorphismus f: Ein  B solch das für den ganzen n. Die n-te Homologie H kann als ein kovarianter functor von der Kategorie von Kettenkomplexen zur Kategorie von abelian Gruppen (oder Module) angesehen werden.

Wenn der Kettenkomplex vom Gegenstand X auf eine kovariante Weise abhängt (das Meinen, dass jeder morphism X  Y veranlassen einen morphism vom Kettenkomplex X zum Kettenkomplex von Y), dann sind die H kovarianter functors von der Kategorie, die X in die Kategorie von abelian Gruppen (oder Module) gehört.

Der einzige Unterschied zwischen Homologie und cohomology ist, dass in cohomology die Kettenkomplexe auf eine kontravariante Weise von X abhängen, und dass deshalb die Homologie-Gruppen (die cohomology Gruppen in diesem Zusammenhang genannt und durch H angezeigt werden) Kontravariante functors von der Kategorie bilden, die X in die Kategorie von abelian Gruppen oder Modulen gehört.

Eigenschaften

Wenn (d: Ein  ist A) ein solcher Kettenkomplex, dass alle außer begrenzt manch einem Null sind, und andere abelian Gruppen begrenzt erzeugt werden (oder begrenzte dimensionale Vektorräume), dann können wir die Eigenschaft von Euler definieren

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(das Verwenden der Reihe im Fall von abelian Gruppen und der Dimension von Hamel im Fall von Vektorräumen). Es stellt sich heraus, dass die Eigenschaft von Euler auch auf dem Niveau der Homologie geschätzt werden kann:

:

und, besonders in der algebraischen Topologie, stellt das zwei Weisen zur Verfügung, den wichtigen invariant &chi zu schätzen; für den Gegenstand X, der den Kettenkomplex verursacht hat.

Jede kurze genaue Folge

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der Kette Komplexe verursacht eine lange genaue Folge von Homologie-Gruppen

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Alle Karten in dieser langen genauen Folge werden durch die Karten zwischen den Kettenkomplexen veranlasst, abgesehen von den Karten H (C)  H (A) Die Letzteren werden genannt, Homomorphismus verbindend, und werden durch das Schlange-Lemma zur Verfügung gestellt. Das Schlange-Lemma kann auf die Homologie auf zahlreiche Weisen angewandt werden, die im Rechnen von Homologie-Gruppen, wie die Theorien der Verhältnishomologie und Folgen von Mayer-Vietoris helfen.

Geschichte

Homologie-Klassen wurden zuerst streng von Henri Poincaré in seiner Samenzeitung "Analyse-Lage", Polytechnologie von J. Ecole definiert. (2) 1. 1-121 (1895).

Die Homologie-Gruppe wurde weiter von Emmy Noether und, unabhängig, von Leopold Vietoris und Walther Mayer, in der Periode 1925-28 entwickelt.

Davor wurden topologische Klassen in der kombinatorischen Topologie als abelian Gruppen nicht formell betrachtet. Die Ausbreitung von Homologie-Gruppen hat die Änderung der Fachsprache und des Gesichtspunkts von der "kombinatorischen Topologie" zur "algebraischen Topologie" gekennzeichnet.

Siehe auch

• Homologie von Simplicial
• Einzigartige Homologie
• Zellhomologie
• Homologie-Theorie
• Algebra von Homological
• Cohomology

Referenzen

• Cartan, Henri Paul und Eilenberg, Samuel (1956) Homological Algebra Universität von Princeton Presse, Princeton, New Jersey, OCLC 529171
• Eilenberg, Samuel und Moore, J. C. (1965) Fundamente der homological Verhältnisalgebra (Lebenserinnerungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft Nummer 55) amerikanische Mathematische Gesellschaft, Vorsehung, R.I. OCLC 1361982
• Hatcher, A., (2002) Algebraische Topologie Universität von Cambridge Presse, internationale Standardbuchnummer 0-521-79540-0. Ausführliche Diskussion von Homologie-Theorien für simplicial Komplexe und Sammelleitungen, einzigartige Homologie, usw.