Mischbasis-Ziffer-Systeme sind Sonderstellungsziffer-Systeme, in denen sich die numerische Basis von der Position bis Position ändert. Solche numerische Darstellung gilt, wenn eine Menge mit einer Folge von Einheiten ausgedrückt wird, die jeder ein Vielfache des folgenden kleineren, aber nicht durch denselben Faktor sind. Solche Einheiten sind zum Beispiel in der Messzeit üblich; eine Zeit von 32 Wochen, 5 Tagen, 7 Stunden, 45 Minuten, 15 Sekunden, und 500 Millisekunden könnte als mehrere Minuten in der Mischbasis-Notation als ausgedrückt werden:

... 32, 5, 7, 45; 15, 500

... , 7, 24, 60; 60, 1000

oder als

:325745.15500

Im tabellarischen Format werden die Ziffern über ihrer Basis geschrieben, und ein Strichpunkt wird verwendet, um den Basis-Punkt anzuzeigen. Im Ziffer-Format ließ jede Ziffer seine verbundene Basis als eine Subschrift beifügen, und die Position des Basis-Punkts wird durch einen Schlusspunkt angezeigt. Die Basis für jede Ziffer ist die Zahl von entsprechenden Einheiten, die die folgende größere Einheit zusammensetzen. Demzufolge gibt es keine Basis (schriftlich als ) für die erste (bedeutendste) Ziffer, da hier die "folgende größere Einheit" nicht besteht (und bemerkt, dass man keine größere Einheit "des Monats" oder "Jahres" zur Folge von Einheiten hinzufügen konnte, weil sie nicht Vielfachen der ganzen Zahl "der Woche" sind).

Beispiele

Ein Mischbasis-Ziffer-System kann häufig aus einer tabellarischen Zusammenfassung einen Nutzen ziehen. Das vertraute System, für die 604800 Sekunden einer Woche zu beschreiben, die von der Mitternacht am Sonntag anfängt, läuft wie folgt:

In diesem Ziffer-System würden die Mischbasis-Sekunden der Ziffer 3155157 als 17:51:57 Uhr am Mittwoch interpretiert, und 0000224 würde 12:02:24 vormittags am Sonntag sein. Ad-Hoc-Notationen für Mischbasis-Ziffer-Systeme sind gewöhnlich.

Ein zweites Beispiel eines Mischbasis-Ziffer-Systems im aktuellen Gebrauch ist im Design und Gebrauch der Währung, wo ein beschränkter Satz von Bezeichnungen gedruckt oder mit dem Ziel des im Stande Seins gemünzt wird, jede Geldmenge zu vertreten; der Betrag des Geldes wird dann durch die Zahl von Münzen oder Banknoten jeder Bezeichnung vertreten. Wenn man entscheidet, auf welche Bezeichnungen (und folglich der Basen zu schaffen, sich zu vermischen), ein Kompromiss zwischen einer minimalen Zahl von verschiedenen Bezeichnungen und einer minimalen Zahl von individuellen Stücken des Prägenes gezielt wird, das erforderlich ist, typische Mengen zu vertreten. Also, zum Beispiel, im Vereinigten Königreich, werden Banknoten für 50 £, 20 £, 10 £ und 5 £ gedruckt, und Münzen werden für 2 £, 1 £, 50 p, 20 Punkte, 10 Punkte, 5 Punkte, 2 Punkte und 1 Punkt gemünzt — diese folgen den 1-2-5 Reihen von bevorzugten Werten.

In der Theorie, erwogen dreifältig minimiert die Zahl von Stücken des Prägenes, das erforderlich ist, jede Menge zu vertreten.

Ein historisches Beispiel eines Mischbasis-Ziffer-Systems ist das System von Mayaziffern, die allgemein Basis 20, abgesehen vom zweiten Platz verwendet haben (die "10er Jahre" in der Dezimalzahl), der 18 Grund-war, so dass die ersten zwei Plätze bis zu 360 (eine Annäherung an die Zahl von Tagen im Jahr) aufgezählt haben.

Mischbasis-Darstellung ist auch für Mischbasis-Versionen des Cooley-Tukey FFT Algorithmus wichtig, in dem die Indizes der Eingangswerte in einer Mischbasis-Darstellung ausgebreitet werden, werden die Indizes der Produktionswerte in einer entsprechenden Mischbasis-Darstellung mit der Ordnung der Basen und Ziffern umgekehrt ausgebreitet, und jeder subverwandelt sich kann betrachtet werden, weil sich ein Fourier in einer Ziffer für alle Werte der restlichen Ziffern verwandelt.

Manipulation

Mischbasis-Zahlen derselben Basis können mit einer Generalisation von manuellen arithmetischen Algorithmen manipuliert werden. Die Konvertierung von Werten von einer Mischbasis bis einen anderen wird durch das erste Umwandeln der Platz-Werte eines Systems in den anderen und dann Verwendung der Ziffern von einem System gegen diese leicht vollbracht.

APL schließt Maschinenbediener ein, um sich zu und von Mischbasis-Systemen umzuwandeln.

Zahl-System von Factorial

Ein anderer Vorschlag ist das so genannte factorial Zahl-System:

Zum Beispiel würde die größte Zahl, die mit sechs Ziffern vertreten werden konnte, 543210 sein, der 719 in der Dezimalzahl gleich ist: 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Es könnte auf den ersten Blick nicht klar sein, aber der gestützte factorial, System numerierend, ist eindeutig und abgeschlossen. Jede Zahl kann auf eine und nur eine Weise vertreten werden, weil die Summe von jeweiligem mit dem Index multipliziertem factorials immer der folgende factorial minus einer ist:

Es gibt zwischen den ganzen Zahlen 0..., n natürlich kartografisch darzustellen! − 1 und Versetzungen von n Elementen in der lexikografischen Ordnung, die die factorial Darstellung der ganzen Zahl verwendet, die von einer Interpretation als ein Code von Lehmer gefolgt ist.

Die obengenannte Gleichung ist ein besonderer Fall der folgenden allgemeinen Regel für jede Basis (entweder Standard oder gemischt) Grunddarstellung, die die Tatsache ausdrückt, dass jede Basis (entweder Standard oder gemischt) Grunddarstellung eindeutig und abgeschlossen ist. Jede Zahl kann auf eine und nur eine Weise vertreten werden, weil die Summe von jeweiligen mit dem Index multiplizierten Gewichten immer das folgende Gewicht minus eines ist:

: wo,

der mit der mathematischen Induktion leicht bewiesen werden kann.

Hauptbasis-Zahl-System

Ein anderer interessanter Vorschlag ist das Zahl-System mit aufeinander folgenden Primzahlen als Basis, deren Platz-Werte primorial Zahlen sind:

: wo, und p = j erst, p# = p = 1.

• Donald Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung, Bands 2: Halbnumerische Algorithmen, die Dritte Ausgabe. Addison-Wesley, 1997. Internationale Standardbuchnummer 0-201-89684-2. Seiten 65-66, 208-209, und 290.
• Georg Cantor. Über einfache Zahlensysteme, Mathematik von Zeitschrift für. und Physik 14 (1869), 121-128.

Außenverbindungen

• "Kommentare "Zu einem Arithmetischen Freien Parallelen Mischbasis-Umwandlungsalgorithmus"". Vorgelegt IEEE Trans. Stromkreise und Systeme. Durch Antonio García, Studentenmitglied, IEEE, und Graham A. Jullien, Ältesten, IEEE. (PDF) Enthält zusätzliche Verweisungen auf die MRN Konvertierung.