:This-Artikel befasst sich mit geradlinigen Karten von einem Vektorraum bis sein Feld von Skalaren. Diese Karten 'können functionals im traditionellen Sinn von Funktionen von Funktionen sein, aber das ist nicht notwendigerweise der Fall.

In der geradlinigen Algebra ist eine geradlinige funktionelle oder geradlinige Form (hat auch eine eine Form oder covector genannt), eine geradlinige Karte von einem Vektorraum bis sein Feld von Skalaren. In R, wenn Vektoren als Spaltenvektoren vertreten werden, dann werden geradlinige functionals als Zeilenvektoren vertreten, und wird ihre Handlung auf Vektoren durch das Punktprodukt oder das Matrixprodukt mit dem Zeilenvektoren links und dem Spaltenvektor rechts gegeben. Im Allgemeinen, wenn V ein Vektorraum über ein Feld k ist, dann ist ein geradliniger funktioneller ƒ eine Funktion von V bis k, der geradlinig ist:

: für den ganzen

: für den ganzen

Der Satz des ganzen geradlinigen functionals von V bis k, Hom (V, k), ist selbst ein Vektorraum über k. Dieser Raum wird den Doppelraum V, oder manchmal den algebraischen Doppelraum genannt, um es vom dauernden Doppelraum zu unterscheiden. Es wird häufig V geschrieben, oder wenn das Feld k verstanden wird.

Dauernder geradliniger functionals

Wenn V ein topologischer Vektorraum, der Raum von dauerndem geradlinigem functionals ist - wird der dauernde Doppel-häufig einfach den Doppelraum genannt. Wenn V ein Banachraum ist, dann auch ist sein (dauernder) Doppel-. Um den gewöhnlichen Doppelraum vom dauernden Doppelraum zu unterscheiden, wird der erstere manchmal den algebraischen Doppel-genannt. In begrenzten Dimensionen ist jeder geradlinige funktionelle dauernd, so ist der dauernde Doppel-dasselbe als der algebraische Doppel-, obwohl das in unendlichen Dimensionen nicht wahr ist.

Beispiele und Anwendungen

Geradliniger functionals in R

Nehmen Sie an, dass Vektoren im echten Koordinatenraum R als Spaltenvektoren vertreten werden

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Dann kann irgendwelcher geradlinig funktionell in diesen Koordinaten als eine Summe der Form geschrieben werden:

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Das ist gerade das Matrixprodukt des Zeilenvektoren [...] und der Spaltenvektor:

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Integration

Geradliniger functionals ist zuerst in der Funktionsanalyse, der Studie von Vektorräumen von Funktionen erschienen. Ein typisches Beispiel eines geradlinigen funktionellen ist Integration: Die geradlinige Transformation, die vom Riemann integrierter definiert ist

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ist ein geradliniger funktioneller vom Vektorraum C [a, b] von dauernden Funktionen auf dem Zwischenraum [a, b] zu den reellen Zahlen. Die Linearität von folge mir (ƒ) aus den Standardtatsachen über das Integral:

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:::

Einschätzung

Lassen Sie P den Vektorraum von reellwertigen polynomischen Funktionen des Grads n definiert auf einem Zwischenraum [a, b] anzeigen. Wenn c  [a, b], dann gelassener ev: P  R, die funktionelle Einschätzung sein:

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Der kartografisch darstellende ƒ  ƒ (c) ist seitdem geradlinig

::

Wenn x..., x n+1 verschiedene Punkte in [a, b] sind, dann die Einschätzung functionals ev, i=0,1..., formen sich n eine Basis des Doppelraums von P. (beweist dieses letzte Tatsache-Verwenden Interpolation von Lagrange.)

Anwendung auf die Quadratur

Die funktionelle Integration habe ich oben definiert definiert einen geradlinigen funktionellen auf dem Subraum P von Polynomen des Grads  n. Wenn x, …, x n+1 verschiedene Punkte in [a, b] sind, dann gibt es Koeffizienten a, …, für der

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für alle ƒ  P. Das bildet das Fundament der Theorie der numerischen Quadratur.

Das folgt aus der Tatsache dass der geradlinige functionals ev: ƒ  ƒ (x) definiert über der Form eine Basis des Doppelraums von P.

Geradliniger functionals in der Quant-Mechanik

Geradlinige functionals sind in der Quant-Mechanik besonders wichtig. Mechanische Systeme des Quants werden durch Räume von Hilbert vertreten, die zu ihren eigenen Doppelräumen antiisomorph sind. Ein Staat eines Quants mechanisches System kann mit einem geradlinigen funktionellen identifiziert werden. Weil mehr Information Notation des Büstenhalters-ket sieht.

Vertrieb

In der Theorie von verallgemeinerten Funktionen haben bestimmte Arten von verallgemeinerten Funktionen gerufen Vertrieb kann als geradliniger functionals auf Räumen von Testfunktionen begriffen werden.

Eigenschaften

• Jeder geradlinige funktionelle L ist irgendein (gleich 0 überall) oder surjective auf das Skalarfeld trivial. Tatsächlich folgt das seitdem, gerade als das Image eines Vektor-Subraums unter einer geradlinigen Transformation ein Subraum ist, auch ist das Image V unter L. Aber die einzigen Subräume (d. h., K-Subräume) k sind {0} und k selbst.
• Ein geradliniger funktioneller ist dauernd, wenn, und nur wenn sein Kern geschlossen wird.
• Geradlinige functionals mit demselben Kern sind proportional.
• Der absolute Wert von irgendwelchem geradlinig funktionell ist eine Halbnorm auf seinem Vektorraum.

Doppelvektoren und bilineare Formen

Jede nichtdegenerierte bilineare Form auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V verursacht einen Isomorphismus von V bis V*. Spezifisch, die bilineare Form auf V dadurch anzeigend

:

Der umgekehrte Isomorphismus wird dadurch gegeben, wo ƒ * das einzigartige Element V für der für den ganzen w  V ist

:Wie man

sagt, ist der obengenannte definierte Vektor v*  V* der Doppelvektor von v  V.

In einem unendlichen dimensionalen Raum von Hilbert halten analoge Ergebnisse durch den Darstellungslehrsatz von Riesz. Es gibt V  V* in dauernden DoppelraumV* kartografisch darzustellen. Jedoch ist das kartografisch darzustellen, antigeradlinig aber nicht geradlinig.

Das Vergegenwärtigen geradlinigen functionals

In begrenzten Dimensionen kann ein geradliniger funktioneller in Bezug auf seine Niveau-Sätze vergegenwärtigt werden. In drei Dimensionen sind die Niveau-Sätze eines geradlinigen funktionellen eine Familie gegenseitig paralleler Flugzeuge; in höheren Dimensionen sind sie parallele Hyperflugzeuge. Diese Methode, sich geradlinigen functionals zu vergegenwärtigen, wird manchmal in allgemeinen Relativitätstexten, wie Schwerkraft dadurch eingeführt.

Basen in begrenzten Dimensionen

Basis des Doppelraums in begrenzten Dimensionen

Lassen Sie den Vektorraum V haben eine Basis, nicht notwendigerweise orthogonal. Dann hat DoppelraumV* eine Basis genannt die Doppelbasis, die durch das spezielle Eigentum das definiert ist

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Oder, mehr kurz und bündig,

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wo δ das Delta von Kronecker ist. Hier sind die Exponenten der Basis functionals nicht Hochzahlen, aber sind stattdessen kontravariante Indizes.

Ein geradliniges funktionelles Gehören dem Doppelraum kann als eine geradlinige Kombination der Basis functionals, mit Koeffizienten ("Bestandteile") u, ausgedrückt werden

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Dann das funktionelle auf einen Basisvektoren anwendend, gibt e nach

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wegen der Linearität von Skalarvielfachen von functionals und pointwise Linearität von Summen von functionals. Dann

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das ist

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Diese letzte Gleichung zeigt, dass ein individueller Bestandteil eines geradlinigen funktionellen durch die Verwendung des funktionellen auf einen entsprechenden Basisvektoren herausgezogen werden kann.

Die Doppelbasis und das Skalarprodukt

Wenn der Raum V ein Skalarprodukt trägt, dann ist es möglich, ausführlich eine Formel für die Doppelbasis einer gegebenen Basis zu schreiben. Lassen Sie V haben (nicht notwendigerweise orthogonal) Basis. In drei Dimensionen (n = 3) kann die Doppelbasis ausführlich geschrieben werden

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für i=1,2,3, wo das Symbol von Levi-Civita und das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) auf V ist.

In höheren Dimensionen verallgemeinert das wie folgt

:

\left\langle

\frac {\\underset