In der geradlinigen Algebra wird eine Quadratmatrix A diagonalizable genannt, wenn es einer Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h., wenn dort eine invertible Matrix P solch besteht, dass BREI eine Diagonalmatrix ist. Wenn V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, dann eine geradlinige Karte T ist: V  V werden diagonalizable genannt, wenn dort eine Basis V besteht, in Bezug auf den T durch eine Diagonalmatrix vertreten wird. Diagonalization ist der Prozess, eine entsprechende Diagonalmatrix für eine diagonalizable geradlinige oder Matrixkarte zu finden. Eine Quadratmatrix, die nicht diagonalizable ist, wird fehlerhaft genannt.

Diagonalizable matrices und Karten sind von Interesse, weil Diagonalmatrizen besonders leicht sind zu behandeln: Ihr eigenvalues und Eigenvektoren sind bekannt, und man kann eine Diagonalmatrix zu einer Macht erheben, indem man einfach die diagonalen Einträge zu dieser derselben Macht erhebt. Geometrisch ist eine diagonalizable Matrix eine inhomogeneous Ausdehnung (oder anisotropic, der klettert) - es erklettert den Raum, wie eine homogene Ausdehnung, aber durch einen verschiedenen Faktor in jeder Richtung tut, die durch die Einteilungsfaktoren auf jeder Achse (diagonale Einträge) bestimmt ist.

Charakterisierung

Die grundsätzliche Tatsache über Diagonalizable-Karten und matrices wird durch den folgenden ausgedrückt:

• Eine n-by-n Matrix über Feld F ist diagonalizable, wenn, und nur wenn die Summe der Dimensionen seines eigenspaces n gleich ist, der der Fall ist, wenn, und nur wenn dort eine Basis von F besteht, der aus Eigenvektoren von A besteht. Wenn solch eine Basis gefunden worden ist, kann man die Matrix P bilden, diese Basisvektoren als Säulen habend, und BREI wird eine Diagonalmatrix sein. Die diagonalen Einträge dieser Matrix sind der eigenvalues von A.
• Eine geradlinige Karte T: V  V sind diagonalizable, wenn, und nur wenn die Summe der Dimensionen seines eigenspaces gleich ist, um sich (V) zu verdunkeln, der der Fall ist, wenn, und nur wenn dort eine Basis V besteht, aus Eigenvektoren von T bestehend. In Bezug auf solch eine Basis wird T durch eine Diagonalmatrix vertreten. Die diagonalen Einträge dieser Matrix sind der eigenvalues von T.

Eine andere Charakterisierung: Eine geradlinige oder Matrixkarte ist diagonalizable über Feld F, wenn, und nur wenn sein minimales Polynom ein Produkt von verschiedenen geradlinigen Faktoren über F. ist (Gestellt auf eine andere Weise ist eine Matrix diagonalizable, wenn, und nur wenn alle seine elementaren Teiler geradlinig sind.)

Das folgende genügend (aber nicht notwendig) Bedingung ist häufig nützlich.

• Eine n-by-n Matrix A ist diagonalizable über Feld F, wenn es n verschiedenen eigenvalues in F hat, d. h. wenn sein charakteristisches Polynom n verschiedene Wurzeln in F hat; jedoch kann das gegenteilige falsch sein. Lassen Sie uns denken

::

: der eigenvalues 1, 2, 2 (nicht alle verschieden) hat und diagonalizable mit der diagonalen Form (auch die ähnliche Matrix) ist

::

: und Änderung der Basismatrix P

::

• Eine geradlinige Karte T: V  V mit n = verdunkeln sich (V) ist diagonalizable, wenn es n verschiedenen eigenvalues hat, d. h. wenn sein charakteristisches Polynom n verschiedene Wurzeln in F hat.

Lassen Sie A eine Matrix über F sein. Wenn A diagonalizable ist, dann auch ist jede Macht davon. Umgekehrt, wenn A invertible ist, wird F algebraisch geschlossen, und A ist diagonalizable für einen n, der nicht ist, ist eine ganze Zahl, die der Eigenschaft von F, dann A vielfach ist, diagonalizable. Beweis: Wenn diagonalizable ist, dann wird A durch ein Polynom vernichtet, das keine vielfache Wurzel (seitdem) hat und durch das minimale Polynom von A geteilt wird.

Als Faustregel über C ist fast jede Matrix diagonalizable. Genauer: Der Satz des Komplexes n-by-n matrices, die nicht diagonalizable über C, betrachtet als eine Teilmenge von C sind, lässt Lebesgue Null messen. Man kann auch sagen, dass die diagonalizable matrices eine dichte Teilmenge in Bezug auf die Topologie von Zariski bilden: Die Ergänzung liegt innerhalb des Satzes, wo der discriminant des charakteristischen Polynoms verschwindet, der eine Hyperoberfläche ist. Davon folgt auch Dichte in der üblichen (starken) durch eine Norm gegebenen Topologie. Dasselbe ist über R nicht wahr.

Die Zergliederung des Jordans-Chevalley drückt einen Maschinenbediener als die Summe seines halbeinfachen (d. h., diagonalizable) Teil und sein nilpotent Teil aus. Folglich ist eine Matrix diagonalizable, wenn, und nur wenn sein nilpotent Teil Null ist. Gestellt auf eine andere Weise ist eine Matrix diagonalizable, wenn jeder Block in seiner Form von Jordan keinen nilpotent Teil hat; d. h., eins nach dem anderen Matrix.

Diagonalization

Wenn eine Matrix A diagonalized sein kann, der, ist

:

& \lambda_ {2 }\\\

& & \ddots \\

& & & \lambda_ {n }\\Ende {pmatrix }\

, </Mathematik>

dann:

:& \lambda_ {2 }\\\& & \ddots \\

& & & \lambda_ {n }\\Ende {pmatrix}. </Mathematik>

Das Schreiben P als eine Block-Matrix seiner Spaltenvektoren

:

die obengenannte Gleichung kann als umgeschrieben werden

:

So sind die Spaltenvektoren von P Eigenvektoren von A, und der entsprechende diagonale Zugang der entsprechende eigenvalue ist. Der invertibility von P weist auch darauf hin, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind und die Basis von F bilden. Das ist die notwendige und genügend Bedingung für diagonalizability und die kanonische Annäherung von diagonalization.

Wenn die Matrix A eine Matrix von Hermitian ist (resp. symmetrische Matrix), können Eigenvektoren von A gewählt werden, um eine orthonormale Basis von C zu bilden (resp. R). Unter solchem Umstand wird P eine einheitliche Matrix sein (resp. orthogonale Matrix), und P ist gleich die verbundenen stellen um (resp. stellen um) P.

Gleichzeitiger diagonalization

Wie man

sagt, ist eine Reihe von matrices gleichzeitig diagonalisable, wenn dort eine einzelne invertible Matrix P solch besteht, der eine Diagonalmatrix für jeden im Satz ist. Der folgende Lehrsatz charakterisiert gleichzeitig diagonalisable matrices: Eine Reihe von diagonalizable matrices pendelt, wenn, und nur wenn der Satz gleichzeitig diagonalisable ist.

Der Satz des ganzen n-by-n diagonalisable matrices (über C) mit n> 1 ist nicht gleichzeitig diagonalisable. Zum Beispiel, der matrices

:

sind diagonalizable, aber nicht gleichzeitig diagonalizable, weil sie nicht pendeln.

Ein Satz besteht daraus, normalen matrices einzutauschen, wenn, und nur wenn es gleichzeitig diagonalisable durch eine einheitliche Matrix ist; d. h. dort besteht eine einheitliche Matrix U solch, der für jeden im Satz diagonal ist.

Auf der Sprache der Lüge-Theorie eine Reihe gleichzeitig diagonalisable erzeugen matrices einen toral Liegen Algebra.

Beispiele

Diagonalizable matrices

• Involutionen sind diagonalisable über den reals (und tatsächlich jedes Feld der Eigenschaft nicht 2), mit 1's und-1's auf der Diagonale
• Begrenzte Ordnungsendomorphismen sind diagonalisable über die komplexen Zahlen (oder jedes algebraisch geschlossene Feld, wo die Eigenschaft des Feldes die Ordnung des Endomorphismus nicht teilt) mit Wurzeln der Einheit auf der Diagonale. Das folgt, da das minimale Polynom trennbar ist, weil die Wurzeln der Einheit verschieden sind.
• Vorsprünge sind diagonalizable, mit 0's und 1's auf der Diagonale.
• Echte symmetrische matrices sind diagonalizable durch orthogonalen matrices; d. h., in Anbetracht einer echten symmetrischen Matrix, ist für eine orthogonale Matrix diagonal. Mehr allgemein sind matrices diagonalizable durch einheitlichen matrices, wenn, und nur wenn sie normal sind. Im Fall von der echten symmetrischen Matrix sehen wir, dass, also klar hält. Beispiele von normalem matrices sind symmetrisch echt (oder verdrehen Sie - symmetrisch) matrices (z.B Kovarianz matrices) und Hermitian matrices (oder verdrehen matrices-Hermitian). Sieh geisterhafte Lehrsätze für Generalisationen zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen.

Matrices, die nicht diagonalizable sind

Einige matrices sind nicht diagonalizable über jedes Feld, am meisten namentlich Nichtnull nilpotent matrices. Das geschieht mehr allgemein, wenn die algebraische und geometrische Vielfältigkeit eines eigenvalue nicht zusammenfällt. Denken Sie zum Beispiel

:

Diese Matrix ist nicht diagonalizable: Es gibt keine Matrix U solch, der eine Diagonalmatrix ist. Tatsächlich hat C einen eigenvalue (nämlich Null), und dieser eigenvalue hat algebraische Vielfältigkeit 2 und geometrische Vielfältigkeit 1.

Einige echte matrices sind nicht diagonalizable über den reals. Denken Sie zum Beispiel die Matrix

:

Die Matrix B hat keinen echten eigenvalues, also gibt es keine echte Matrix Q solch, der eine Diagonalmatrix ist. Jedoch können wir diagonalize B, wenn wir komplexe Zahlen erlauben. Tatsächlich, wenn wir nehmen

:

dann ist diagonal.

Bemerken Sie, dass die obengenannten Beispiele zeigen, dass die Summe von diagonalizable matrices diagonalizable nicht zu sein braucht.

Wie zu diagonalize eine Matrix

Denken Sie eine Matrix

:

1 & 2 & 0 \\

0 & 3 & 0 \\

2 &-4 & 2 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Diese Matrix hat eigenvalues

:

So ist A 3 durch 3 Matrix mit 3 verschiedenen eigenvalues, deshalb ist es diagonalizable. Bemerken Sie, dass, wenn es genau n verschiedenen eigenvalues in einer n×n Matrix dann gibt, diese Matrix diagonalizable ist.

Diese eigenvalues sind die Werte, die in der Diagonalized-Form der Matrix erscheinen werden, so, indem wir den eigenvalues davon finden, haben uns diagonalized es. Wir konnten hier anhalten, aber es ist eine gute Kontrolle, um die Eigenvektoren an diagonalize zu verwenden.

Die Eigenvektoren von A sind

:

Man kann das leicht überprüfen

Lassen Sie jetzt P die Matrix mit diesen Eigenvektoren als seine Säulen sein:

:

\begin {bmatrix }\

- 1 & 0 &-1 \\

- 1 & 0 & 0 \\

2 & 1 & 2 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Zeichen dort ist keine bevorzugte Ordnung der Eigenvektoren in P; das Ändern der Ordnung der Eigenvektoren in P ändert gerade die Ordnung des eigenvalues in der Diagonalized-Form von A.

Dann P diagonalizes A, wie eine einfache Berechnung bestätigt:

:\begin {bmatrix }\

0 &-1 & 0 \\

2 & 0 & 1 \\

- 1 & 1 & 0 \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\1 & 2 & 0 \\0 & 3 & 0 \\

2 &-4 & 2 \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\- 1 & 0 &-1 \\- 1 & 0 & 0 \\

2 & 1 & 2 \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix }\

3 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 1\end {bmatrix}. </Mathematik>

Bemerken Sie, dass die eigenvalues in der Diagonalmatrix erscheinen.

Alternative Methode

Das Starten mit: wo,

und die Matrix von Diagonalization ist:

:

d_ {11} & 0 \\

0 & d_ {22} \end {bmatrix} </Mathematik>

Verteilen Sie in die Spaltenvektoren dessen.

:

Dann kann zu seinen Spaltenvektoren wie folgt gebrochen werden:

:

Das Multiplizieren auf der linken Seite der Gleichung gibt:

:

Das Setzen jedes Zugangs der Matrix zu seinem entsprechenden Zugang:

::

Dann können die Gleichungen wie folgt, mit demselben Prozess für beide gelöst werden:

::

und es löst dafür, der der erste Zugang in der Diagonalmatrix und auch der erste eigenvalue ist.

Eine Anwendung

Diagonalization kann verwendet werden

die Mächte einer Matrix effizient zu schätzen, vorausgesetzt dass die Matrix diagonalizable ist. Nehmen Sie an, dass wir das gefunden haben

:

ist eine Diagonalmatrix. Dann, weil das Matrixprodukt, assoziativ

ist:

&= PD (P^ {-1} P) D (P^ {-1} P) \cdots (P^ {-1} P) D P^ {-1} \\

&= PD^kP^ {-1} {richten} \end </Mathematik> {aus}

und der Letztere ist leicht zu rechnen, da es nur die Mächte einer Diagonalmatrix einschließt. Diese Annäherung kann zu und anderen Matrixexponentialmatrixfunktionen verallgemeinert werden, da sie als Macht-Reihe definiert werden können.

Das ist in der Entdeckung von geschlossenen Form-Ausdrücken für Begriffe von geradlinigen rekursiven Folgen wie die Fibonacci-Zahlen besonders nützlich.

Besondere Anwendung

Denken Sie zum Beispiel die folgende Matrix:

:

Das Rechnen der verschiedenen Mächte der M offenbart ein überraschendes Muster:

:

M^2 = \begin {bmatrix} a^2 & b^2-a^2 \\0 &b^2 \end {bmatrix}, \quad

M^3 = \begin {bmatrix} a^3 & b^3-a^3 \\0 &b^3 \end {bmatrix}, \quad

M^4 = \begin {bmatrix} a^4 & b^4-a^4 \\0 &b^4 \end {bmatrix}, \quad \ldots

</Mathematik>

Das obengenannte Phänomen kann durch die diagonalizing M erklärt werden. Um das zu vollbringen, brauchen wir eine Basis von R, der aus Eigenvektoren besteht

der M. Eine solche Eigenvektor-Basis wird durch gegeben

:

\mathbf {v} = \begin {bmatrix} 1 \\1 \end {bmatrix} = \mathbf {e} _1 +\mathbf {e} _2, </Mathematik>

wo e die Standardbasis von R anzeigt.

Die Rückänderung der Basis wird durch gegeben

:

Aufrichtige Berechnungen zeigen dem

:

So sind a und b der eigenvalues entsprechend u und v beziehungsweise.

Durch die Linearität der Matrixmultiplikation haben wir das

:

Zurück auf die Standardbasis umschaltend, haben wir

::

Die vorhergehenden Beziehungen, die in der Matrixform ausgedrückt sind, sind

:

M^n = \begin {bmatrix} a^n & b^n-a^n \\0 &b^n \end {bmatrix},

</Mathematik>

dadurch das obengenannte Phänomen erklärend.

Quant mechanische Anwendung

Im Quant mechanisch und Quant ist chemische Berechnungsmatrix diagonalization einer der am häufigsten angewandten numerischen Prozesse. Der grundlegende Grund besteht darin, dass die zeitunabhängige Gleichung von Schrödinger eine eigenvalue Gleichung, obgleich in den meisten physischen Situationen auf einem unendlichen dimensionalen Raum (ein Raum von Hilbert) ist. Eine sehr allgemeine Annäherung soll Raum von Hilbert zur begrenzten Dimension stutzen, nach der die Gleichung von Schrödinger als ein eigenvalue Problem echten symmetrischen oder komplizierten Hermitian, Matrix formuliert werden kann. Formell wird diese Annäherung auf dem abweichenden Grundsatz gegründet, für Hamiltonians gültig, die von unten begrenzt werden.

Sondern auch die Unruhe-Theorie der ersten Ordnung für degenerierte Staaten führt zu einer Matrix eigenvalue Problem.

Siehe auch

• Fehlerhafte Matrix
• Schuppen (der Geometrie)
• Dreiecksmatrix
• Halbeinfacher Maschinenbediener
• Gruppe von Diagonalizable
• Der Jordan normale Form
• Gewicht-Modul - assoziative Algebra-Generalisation

Außenverbindungen

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