Die Spirale von Ulam oder Hauptspirale (auf anderen Sprachen hat auch den Stoff von Ulam genannt), ist eine einfache Methode, sich die Primzahlen zu vergegenwärtigen, der die offenbare Tendenz von bestimmten quadratischen Polynomen offenbart, ungewöhnlich große Anzahl der Blüte zu erzeugen. Es wurde vom Mathematiker Stanislaw Ulam 1963 entdeckt, während er während der Präsentation einer "langen und sehr langweiligen Zeitung" auf einer wissenschaftlichen Sitzung hinkritzelte. Kurz später, in einer frühen Anwendung der Computergrafik, hat Ulam mit Mitarbeitern Myron Stein und Mark Wells WAHNSINNIGEN II an Los Alamos Scientific Laboratory verwendet, um Bilder der Spirale für Zahlen bis zu 65,000 zu erzeugen. Im März des folgenden Jahres hat Martin Gardner über die Spirale von Ulam in seiner Mathematischen Spielsäule geschrieben; die Spirale von Ulam hat auf dem Vorderdeckel des Problems des Wissenschaftlichen Amerikaners gezeigt, in dem die Säule erschienen ist.

Aufbau

Ulam hat die Spirale gebaut, indem er einen regelmäßigen rechteckigen Bratrost von Zahlen niedergeschrieben hat, mit 1 am Zentrum anfangend, und schnell wachsend:

Er hat dann alle Primzahlen umkreist, und er hat das folgende Bild bekommen:

Zu seiner Überraschung haben die umkreisten Zahlen dazu geneigt, sich entlang diagonalen Linien aufzustellen. 200×200 wird Spirale von Ulam, wo Blüte schwarz ist, am Recht gezeigt. Diagonale Linien sind klar sichtbar, das Muster bestätigend. Horizontale und vertikale Linien, während weniger prominent, sind auch offensichtlich.

Alle Primzahlen, abgesehen von der Nummer 2, sind ungerade Zahlen. Seitdem in der Spirale von Ulam sind angrenzende Diagonalen wechselweise gerade und ungerade Zahlen, es ist keine Überraschung, dass alle Primzahlen in abwechselnden Diagonalen der Spirale von Ulam liegen. Was erschrickt, ist die Tendenz von Primzahlen, auf einigen Diagonalen mehr zu liegen, als andere.

Tests bestätigen bis jetzt, dass es diagonale Linien selbst wenn gibt. Das Muster scheint auch zu erscheinen, selbst wenn die Zahl am Zentrum nicht 1 ist (und tatsächlich viel größer sein kann als 1). Das deutet an, dass es viele Konstanten der ganzen Zahl b und solchen c dass die Funktion gibt:

erzeugt, weil n {1, 2, 3 zusammenzählt...}, mehrere Blüte, der vergleichsweise mit dem Verhältnis der Blüte unter Zahlen des ähnlichen Umfangs groß ist.

Gemäß Ed Pegg dem Jüngeren., der herpetologist Laurence M. Klauber hat den Gebrauch einer Primzahl-Spirale in der Entdeckung hauptreicher quadratischer Polynome 1932, mehr als dreißig Jahre vor der Entdeckung von Ulam vorgeschlagen.

Die Vermutung des zähen und Littlewoods F

In ihrer berühmten 1923-Zeitung auf der Goldbach-Vermutung haben Hardy und Littlewood eine Reihe von Vermutungen festgesetzt, eine von denen, wenn wahr, würde einige der bemerkenswerten Eigenschaften der Spirale von Ulam erklären. Diese Vermutung, die Hardy und Littlewood "Vermutung F" genannt haben, ist ein spezieller Fall der Bateman-Hornvermutung und behauptet eine asymptotische Formel für die Zahl der Blüte der Form ax+bx+c. Strahlen, die vom Hauptgebiet der Spirale-Bilden-Winkel von Ulam von 45 ° mit dem horizontalen und vertikalen ausgehen, entsprechen zu Zahlen der Form 4x+bx+c mit b sogar; horizontale und vertikale Strahlen entsprechen Zahlen derselben Form mit dem seltsamen b. Vermutung F stellt eine Formel zur Verfügung, die verwendet werden kann, um die Dichte der Blüte entlang solchen Strahlen zu schätzen. Es deutet an, dass es beträchtliche Veränderlichkeit in der Dichte entlang verschiedenen Strahlen geben wird. Insbesondere die Dichte ist zum discriminant des Polynoms, b16c hoch empfindlich.

Vermutung F ist mit Polynomen der Form ax+bx+c beschäftigt, wo a, b, und c ganze Zahlen sind und positiv zu sein. Wenn die Koeffizienten einen gemeinsamen Faktor enthalten, der größer ist als 1, oder wenn der discriminant Δ = b4ac ein vollkommenes Quadrat ist, faktorisiert das Polynom und erzeugt deshalb zerlegbare Zahlen, weil x die Werte 0, 1, 2 nimmt... (außer vielleicht für einen oder zwei Werte von x, wo einer der Faktoren 1 gleich ist). Außerdem, wenn a+b und c sowohl sogar sind, erzeugt das Polynom nur sogar Werte, als auch ist deshalb außer vielleicht für den Wert 2 zerlegbar. Hardy und Littlewood behaupten, dass, abgesondert von diesen Situationen, ax+bx+c Hauptwerte ungeheuer häufig nimmt, wie x die Werte 0, 1, 2 nimmt... Diese Behauptung ist ein spezieller Fall einer früheren Vermutung von Bunyakovsky und bleibt offen. Hardy und Littlewood behaupten weiter, dass, asymptotisch, die Nummer P (n) der Blüte der Form ax+bx+c und weniger als n durch gegeben wird

wo A von a, b, und c, aber nicht von n abhängt. Durch den Primzahl-Lehrsatz, diese Formel mit ist Einem man gleichen Satz die asymptotische Zahl der Blüte weniger als n, der in einem zufälligen Satz von Zahlen erwartet ist, die dieselbe Dichte wie der Satz von Zahlen der Form ax+bx+c haben. Aber da A Werte nehmen kann, die größer oder kleiner sind als 1, werden einige Polynome, gemäß der Vermutung, an der Blüte und anderen besonders schwach besonders reich sein. Ein ungewöhnlich reiches Polynom ist 4x2x+41, der eine sichtbare Linie in der Spirale von Ulam bildet. Die Konstante für dieses Polynom ist etwa 6.6, bedeutend, dass die Zahlen, die es erzeugt, fast siebenmal so wahrscheinlich sind, erst zu sein, wie Zufallszahlen der vergleichbaren Größe gemäß der Vermutung. Dieses besondere Polynom ist mit dem Haupt-Erzeugpolynom von Euler xx+41 durch das Ersetzen x mit 2x, oder gleichwertig, durch das Einschränken x zu den geraden Zahlen verbunden. Die Formel des zähen und Littlewoods für den unveränderlichen A ist

Im ersten Produkt ist p ein Hauptteilen sowohl a als auch b; im zweiten Produkt, ist eine sonderbare Blüte nicht das Teilen a. Die Menge ε wird definiert, um 1 zu sein, wenn a+b seltsam ist und 2, wenn a+b gleich ist. Das Symbol ist das Symbol von Legendre. Ein quadratisches Polynom mit Einem  11.3, zurzeit der höchste bekannte Wert, ist von Jacobson und Williams entdeckt worden.

Sack-Spirale

Robert Sacks hat eine Variante der Spirale von Ulam 1994 ausgedacht. In der Spirale von Sacks werden die natürlichen Zahlen auf einer Spirale von Archimedean aber nicht der Quadratspirale geplant, die von Ulam verwendet ist und sind unter Drogeneinfluss, so dass ein vollkommenes Quadrat in jeder vollen Folge vorkommt. (In der Spirale von Ulam kommen zwei Quadrate in jeder Folge vor.) erscheint das Haupt-Erzeugpolynom von Euler, xx+41, jetzt als eine einzelne Kurve, weil x die Werte 0, 1, 2 nimmt... Diese Kurve nähert sich asymptotisch einer horizontalen Linie in der linken Hälfte der Zahl. (In der Spirale von Ulam bildet das Polynom von Euler zwei diagonale Linien, ein in der Spitzenhälfte der Zahl, entsprechend sogar Werten von x in der Folge, anderem im Boden Hälfte der Zahl entsprechend sonderbaren Werten von x in der Folge.)

Referenzen

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Außenverbindungen

• Video, den Aufbau der Ulam Spirale zeigend
• eine Ulam 2000 x 2000-Spirale
• 100000 x 100000 Ulam Spirale (10 Gigapixels)