Eine geometrische Brownsche Bewegung (GBM) (auch bekannt als Brownsche Exponentialbewegung) ist ein dauernd-maliger stochastischer Prozess, in dem der Logarithmus der zufällig unterschiedlichen Menge einer Brownschen Bewegung, auch genannt einen Prozess von Wiener folgt. Es ist in der mathematischen Finanz an Musteraktienpreise im Schwarzen-Scholes Modell gewöhnt.

Technische Definition

Wie man

sagt, folgt ein stochastischer Prozess S einem GBM, wenn er die folgende stochastische Differenzialgleichung (SDE) befriedigt:

:

wo ein Prozess von Wiener oder Brownsche Bewegung ist und ('der Prozentsatz-Antrieb') und ('die Prozentsatz-Flüchtigkeit') Konstanten sind.

Eigenschaften von GBM

Für einen willkürlichen Anfangswert S der obengenannte hat SDE die analytische Lösung (unter der Itō's Interpretation):

:

der (für jeden Wert von t) eine Lognormal-zufällige verteilte Variable mit dem erwarteten Wert und der durch gegebenen Abweichung ist

::

das ist die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion eines S ist:

:

Die Genauigkeit dieser Lösung kann mit dem Itō's Lemma überprüft werden.

Wenn

man weitere Eigenschaften von GBM ableitet, kann Gebrauch aus dem SDE gemacht werden, dessen GBM die Lösung ist, oder die ausführliche Lösung, die oben gegeben ist, verwendet werden kann. Denken Sie zum Beispiel den Klotz des stochastischen Prozesses (S). Das ist ein interessanter Prozess, weil im Schwarzen-Scholes Modell er mit der Klotz-Rückkehr des Aktienpreises verbunden ist. Mit dem Itō's Lemma mit f (S) = gibt Klotz (S)

:

\begin {alignat} {2 }\

d\log (S) & = f^\\erst (S) \, dS + \frac {1} {2} f^ {\\prime\prime} (S) S^2\sigma^2 \, dt \\

& = \frac {1} {S} \left (\sigma S \, dW_t + \mu S \, dt\right) - \frac {1} {2 }\\sigma^2 \, dt \\

&= \sigma \, dW_t + (\mu-\sigma^2/2) \, dt.

\end {alignat }\

</Mathematik>

Hieraus folgt dass.

Dieses Ergebnis kann auch durch die Verwendung des Logarithmus auf die ausführliche Lösung von GBM abgeleitet werden:

:\begin {alignat} {2 }\

\log (S_t) &= \log\left (S_0\exp\left (\left (\mu - \frac {\\sigma^2} {2} \right) t + \sigma W_t\right) \right) \\

&

\log (S_0) + \left (\mu - \frac {\\sigma^2} {2} \right) t + \sigma W_t.

\end {alignat }\</Mathematik>

Einnahme der Erwartung gibt dasselbe Ergebnis wie oben nach:.

Gebrauch von GBM in der Finanz

Geometrische Brownsche Bewegung ist an Musteraktienpreise im Schwarzen-Scholes Modell gewöhnt und ist das am weitesten verwendete Modell des Aktienpreisverhaltens.

Einige der Argumente dafür, GBM an Musteraktienpreisen zu verwenden, sind:

• Der erwartete Umsatz von GBM ist des Werts des Prozesses unabhängig (Aktienpreis), der damit übereinstimmt, was wir in Wirklichkeit erwarten würden.
• Ein GBM geht in einer Prozession nur nimmt positive Werte gerade wie echte Aktienpreise an.
• Ein GBM-Prozess zeigt dieselbe Art 'der Rauheit' in seinen Pfaden, wie wir in echten Aktienpreisen sehen.
• Berechnungen mit GBM-Prozessen sind relativ leicht.

Jedoch ist GBM nicht ein völlig realistisches Modell, insbesondere bleibt er hinter der Wirklichkeit in den folgenden Punkten zurück:

• In echten Aktienpreisen, Flüchtigkeitsänderungen mit der Zeit (vielleicht stochastisch), aber in GBM, wird Flüchtigkeit unveränderlich angenommen.
• In echten Aktienpreisen wird Umsatz gewöhnlich nicht normalerweise verteilt (echter Aktienumsatz hat höher kurtosis ('fettere Schwänze'), was bedeutet, dass es eine höhere Chance von großen Preisänderungen gibt).

Erweiterungen von GBM

In einem Versuch, GBM realistischer als ein Modell zu Aktienpreisen zu machen, kann man die Annahme fallen lassen, dass die Flüchtigkeit unveränderlich ist. Wenn wir annehmen, dass die Flüchtigkeit eine deterministische Funktion des Aktienpreises und Zeit ist, wird das ein lokales Flüchtigkeitsmodell genannt. Wenn stattdessen wir annehmen, dass die Flüchtigkeit eine Zufälligkeit seines eigenen — häufig beschrieben durch eine verschiedene Gleichung hat, die durch eine verschiedene Brownsche Bewegung gesteuert ist —, wird das Modell ein stochastisches Flüchtigkeitsmodell genannt.

Siehe auch

• Brownian erscheinen

Außenverbindungen

• Geometrische Modelle der Brownschen Bewegung für die Aktienbewegung außer in seltenen Ereignissen.